id stringlengths 16 16 | domain stringlengths 11 75 | topic stringlengths 24 92 | mode stringclasses 6
values | problem stringlengths 148 1.5k | thought stringlengths 223 9.85k | code stringlengths 114 2.04k | code_output stringlengths 14 670 | thought_2 stringlengths 70 691 | solution stringlengths 117 2.96k | final_answer stringlengths 2 191 | boxed_answer stringlengths 10 248 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
LUMINA_EXP_00201 | Elementary Mathematics & Proportional Reasoning | Inverse Proportionality in Velocity and Multistage Transit Scheduling | short | Seorang pengemudi menempuh perjalanan antarkota dengan jarak satu arah $S = 360\text{ km}$. Pada saat berangkat, ia memacu kendaraannya dengan kecepatan rata-rata $v_1 = 60\text{ km/jam}$. Pada perjalanan pulang melintasi rute yang sama persis, kondisi jalan lebih lengang sehingga kecepatan rata-rata meningkat menjadi ... | Kita menganalisis permasalahan kinematika dasar dan konsep perbandingan berbalik nilai pada tingkat sekolah dasar lanjutan.
Langkah 1: Perhitungan Waktu Tempuh Parsial.
Hubungan fundamental antara jarak S, kecepatan v, dan waktu t adalah:
S = v * t => t = S / v
Untuk etape keberangkatan:
t_1 = S / v_1 = 360 / 60 = 6... | def travel_average_speed():
s = 360.0
v1, v2 = 60.0, 90.0
t1 = s / v1
t2 = s / v2
t_total = t1 + t2
v_avg = (2.0 * s) / t_total
v_harm = 2.0 / (1.0 / v1 + 1.0 / v2)
assert abs(v_avg - v_harm) < 1e-9
assert t_total == 10.0
assert v_avg == 72.0
return t1, t2, t_total, v_avg
if... | Waktu Berangkat: 6.0 jam, Waktu Pulang: 4.0 jam, Total: 10.0 jam
Kecepatan Rata-rata Harmonik: 72.0 km/jam | Evaluasi kinematika membuktikan waktu berangkat 6 jam dan pulang 4 jam menghasilkan waktu total 10 jam serta kecepatan rata-rata harmonik 72 km/jam. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Waktu Tempuh Setiap Etape:**
- Etape berangkat:
$$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{360\text{ km}}{60\text{ km/jam}} = 6\text{ jam}$$
- Etape pulang:
$$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{360\text{ km}}{90\text{ km/jam}} = 4\text{ jam}$$
2. **Total Waktu dan Jarak:**
- Total waktu:
... | t_total = 10 jam, v_avg = 72 km/jam | \boxed{t_{\text{total}} = 10\text{ jam}, \quad v_{\text{avg}} = 72\text{ km/jam}} |
LUMINA_EXP_00202 | Elementary Mathematics & Applied Geometry | Flow Rate Dynamics and Water Reservoir Filling Volume | medium | Sebuah bak penampungan air berbentuk silinder tegak memiliki diameter lingkaran alas $d = 1.4\text{ m}$ (jari-jari $r = 0.7\text{ m}$) dan tinggi vertikal $h = 2.0\text{ m}$. Bak tersebut diisi secara serentak menggunakan dua pipa pengisian: pipa utama $A$ dengan debit aliran $Q_A = 25\text{ liter/menit}$ dan pipa seku... | Kita menganalisis geometri ruang silinder dan dinamika debit aliran fluida kontinu pada tingkat sekolah dasar lanjutan.
Langkah 1: Perhitungan Volume Silinder.
Rumus volume tabung silinder tegak adalah:
V = pi * r^2 * h
Dengan parameter:
r = 0.7 m = 7/10 m
h = 2.0 m
pi = 22/7
Substitusi nilai:
V = (22/7) * (7/10)^2 *... | def cylinder_fill_time():
r = 0.7
h = 2.0
pi_val = 22.0 / 7.0
vol_m3 = pi_val * (r ** 2) * h
vol_liters = vol_m3 * 1000.0
q_net = (25.0 + 35.0) - 10.0
time_minutes = vol_liters / q_net
hours = int(time_minutes // 60)
remaining_mins = time_minutes % 60
secs = (remaining_mins - int... | Kapasitas Bak: 3080 liter
Debit Bersih: 50 liter/menit
Waktu Pengisian: 61.6 menit (1 jam 1 menit 36 detik) | Verifikasi debit dan volume silinder memastikan volume bak 3.080 liter, debit bersih 50 liter/menit, dan durasi pengisian 61.6 menit (1 jam 1 menit 36 detik). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Volume Silinder Penampungan:**
$$V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.7\text{ m})^2 \times 2.0\text{ m} = 3.08\text{ m}^3$$
Dalam liter:
$$V_{\text{liter}} = 3.08 \times 1.000 = 3.080\text{ liter}$$
2. **Debit Bersih Akumulasi Air:**
$$Q_{\text{net}} = (Q_A + Q_B) - Q_{\tex... | V = 3080 liter, Q_net = 50 liter/menit, t = 61.6 menit | \boxed{V = 3.080\text{ liter}, \quad Q_{\text{net}} = 50\text{ liter/menit}, \quad t = 61.6\text{ menit } (1\text{ jam } 1\text{ menit } 36\text{ detik})} |
LUMINA_EXP_00203 | Elementary Mathematics & Cartography | Map Scale Ratio and Quadratic Area Scaling Transformation | short | Sebuah peta perencanaan wilayah kabupaten dibuat dengan skala $1 : 250.000$.
1. Jika jarak lurus antara dua kantor kecamatan pada peta terukur $d_{\text{peta}} = 14.4\text{ cm}$, tentukan jarak sebenarnya di permukaan bumi dalam satuan kilometer!
2. Sebuah kawasan agrowisata terpadu digambarkan pada peta berbentuk pers... | Kita menganalisis perbandingan skala linier dan skala kuadratik luas pada geometri kartografi dasar.
Langkah 1: Skala Linier Jarak.
Skala 1 : 250.000 bermakna 1 cm pada peta mewakili 250.000 cm pada medan sebenarnya.
Konversi faktor skala ke kilometer:
250.000 cm = 2.500 m = 2.5 km.
Maka jarak sebenarnya:
d_sebenarnya... | def cartographic_scale():
scale = 250000.0
d_cm = 14.4
d_real_km = (d_cm * scale) / 100000.0
p_cm, l_cm = 3.2, 2.5
area_map_cm2 = p_cm * l_cm
area_real_km2 = area_map_cm2 * ((scale / 100000.0) ** 2)
area_real_ha = area_real_km2 * 100.0
assert d_real_km == 36.0
assert area_real_km2 ==... | Jarak Sebenarnya: 36.0 km
Luas Kawasan Sebenarnya: 50.0 km^2 (5,000 ha) | Kalkulasi kartografi mengonfirmasi jarak sebenarnya 36.0 km dan luas kawasan 50.0 km^2 (5.000 hektare) melalui penskalaan kuadratik 1 cm^2 = 6.25 km^2. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Jarak Sebenarnya Antar-Kecamatan:**
Faktor konversi skala:
$$1\text{ cm di peta} = 250.000\text{ cm} = 2.5\text{ km sebenarnya}$$
$$d_{\text{sebenarnya}} = 14.4\text{ cm} \times 2.5\text{ km/cm} = 36.0\text{ km}$$
2. **Luas Kawasan Sebenarnya:**
- Luas pada peta:
$$L_{\t... | d = 36 km, L = 50 km^2 (5000 ha) | \boxed{d_{\text{sebenarnya}} = 36\text{ km}, \quad L_{\text{sebenarnya}} = 50\text{ km}^2 \; (5.000\text{ hektare})} |
LUMINA_EXP_00204 | Elementary Mathematics & Financial Literacy | Cascading Percentage Discounts and Gross Profit Margin Analysis | medium | Sebuah toko elektronik membeli sebuah unit peralatan rumah tangga dari distributor dengan Harga Pokok Penjualan $\text{HPP} = \text{Rp } 1.200.000$. Toko menetapkan harga label awal dengan markup keuntungan sebesar $50\%$ di atas HPP. Pada akhir tahun, toko menyelenggarakan program promosi diskon ganda bertingkat berno... | Kita menganalisis aritmetika sosial persentase, kalkulasi markup, dan efek multiplikatif diskon bertingkat.
Langkah 1: Penentuan Harga Label Awal (Markup).
HPP = Rp 1.200.000.
Markup = 50% di atas HPP.
Harga Label = HPP * (1 + 0.50) = 1.200.000 * 1.50 = Rp 1.800.000.
Langkah 2: Mekanisme Diskon Bertingkat (Cascading ... | def retail_cascading_discount():
hpp = 1200000.0
markup = 0.50
p_label = hpp * (1.0 + markup)
d1, d2 = 0.30, 0.10
factor = (1.0 - d1) * (1.0 - d2)
p_final = p_label * factor
disc_eff = (1.0 - factor) * 100.0
diff = p_final - hpp
pct_diff = (diff / hpp) * 100.0
assert p_label == 1... | Harga Label: Rp 1,800,000
Diskon Efektif: 37.0%, Harga Akhir: Rp 1,134,000
Hasil: Rugi Rp 66,000 (-5.5%) | Analisis aritmetika sosial membuktikan harga label Rp 1.800.000 setelah diskon 37% menghasilkan harga jual Rp 1.134.000 yang mengakibatkan rugi Rp 66.000 (5.5% dari HPP). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Harga Label Awal:**
$$\text{Harga Label} = \text{HPP} \times (1 + 0.50) = 1.200.000 \times 1.50 = \text{Rp } 1.800.000$$
2. **Diskon Efektif dan Harga Jual Akhir:**
Faktor pengali harga bertingkat:
$$\text{Faktor} = (1 - 0.30) \times (1 - 0.10) = 0.70 \times 0.90 = 0.63$$
- D... | Harga Label Rp 1.800.000, Diskon 37%, Harga Akhir Rp 1.134.000, Rugi Rp 66.000 (5.5%) | \boxed{\text{Harga Label} = \text{Rp } 1.800.000, \; d_{\text{efektif}} = 37\%, \; P_{\text{akhir}} = \text{Rp } 1.134.000, \; \text{Rugi } \text{Rp } 66.000 \; (5.5\%)} |
LUMINA_EXP_00205 | Elementary Mathematics & Clock Geometry | Angular Separation Between Analog Clock Hands | short | Pada sebuah jam dinding analog standar berformat 12 jam dengan pembagian lingkaran $360^\circ$:
1. Tentukan posisi sudut jarum pendek (jarum jam) terhadap garis vertikal angka 12 tepat pada pukul 08.24!
2. Tentukan posisi sudut jarum panjang (jarum menit) terhadap garis vertikal angka 12 pada saat yang sama!
3. Hitung ... | Kita menganalisis geometri sudut lingkaran jarum jam analog pada kurikulum matematika dasar.
Langkah 1: Laju Pergerakan Sudut Jarum Jam.
Lingkaran penuh memiliki 360 derajat.
- Jarum Menit:
Menempuh 360 derajat dalam 60 menit.
Laju jarum menit: omega_m = 360 / 60 = 6 derajat per menit.
- Jarum Jam:
Menempuh 360 ... | def clock_angle(hour, minute):
deg_hour = 30.0 * hour + 0.5 * minute
deg_min = 6.0 * minute
diff = abs(deg_hour - deg_min)
angle = min(diff, 360.0 - diff)
assert deg_hour == 252.0
assert deg_min == 144.0
assert angle == 108.0
return deg_hour, deg_min, angle
if __name__ == '__main__':
... | Sudut Jarum Jam: 252.0 deg
Sudut Jarum Menit: 144.0 deg
Sudut Terkecil Antara Jarum: 108.0 deg | Kalkulasi sudut jarum jam membuktikan posisi jarum jam di 252 derajat dan jarum menit di 144 derajat, membentuk sudut terkecil 108 derajat. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Posisi Sudut Jarum Jam:**
$$\theta_h = (30^\circ \times H) + (0.5^\circ \times M) = (30^\circ \times 8) + (0.5^\circ \times 24) = 240^\circ + 12^\circ = 252^\circ$$
2. **Posisi Sudut Jarum Menit:**
$$\theta_m = 6^\circ \times M = 6^\circ \times 24 = 144^\circ$$
3. **Besar Sudut Te... | Sudut Jarum Jam 252 deg, Jarum Menit 144 deg, Sudut Antara 108 deg | \boxed{\theta_h = 252^\circ, \quad \theta_m = 144^\circ, \quad \Delta\theta = 108^\circ} |
LUMINA_EXP_00206 | Political Science & Electoral Mathematics | Sainte-Lague Seat Allocation vs Parliamentary Electoral Threshold | medium | Di suatu daerah pemilihan (Dapil) dengan alokasi $S = 6$ kursi DPR, total suara sah yang masuk adalah $V_{\text{total}} = 500.000$ suara yang terbagi ke lima partai politik:
- Partai A: $180.000$ suara
- Partai B: $135.000$ suara
- Partai C: $110.000$ suara
- Partai D: $55.000$ suara
- Partai E: $20.000$ suara
Ketentua... | Kita menganalisis sistem pemilihan proporsional, regulasi ambang batas parlemen, dan algoritma alokasi Webster/Sainte-Laguë.
Langkah 1: Evaluasi Ambang Batas Parlemen (Parliamentary Threshold).
Total suara sah V_total = 500.000.
Ambang batas 4%:
V_threshold = 0.04 * 500.000 = 20.000 suara.
Mari kita periksa masing-mas... | def sainte_lague_allocation():
votes = {"A": 180000, "B": 135000, "C": 110000, "D": 55000, "E": 20000}
total_votes = sum(votes.values())
threshold_val = 0.04 * total_votes
# Filter threshold >= 4%
eligible = {p: v for p, v in votes.items() if v >= threshold_val}
seats = {p: 0 for p in eligi... | Status Lolos Ambang Batas: ['A', 'B', 'C', 'D', 'E']
Kursi 1: Dimenangkan Partai A (Kuosien: 180,000.0)
Kursi 2: Dimenangkan Partai B (Kuosien: 135,000.0)
Kursi 3: Dimenangkan Partai C (Kuosien: 110,000.0)
Kursi 4: Dimenangkan Partai A (Kuosien: 60,000.0)
Kursi 5: Dimenangkan Partai D (Kuosien: 55,000.0)
Kursi 6: Dimen... | Simulasi Sainte-Lague memvalidasi distribusi 6 kursi: Partai A memperoleh 2 kursi, Partai B 2 kursi, Partai C 1 kursi, Partai D 1 kursi, dan Partai E 0 kursi. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Pemeriksaan Ambang Batas Parlemen ($4.0\%$):**
$$V_{\text{ambang}} = 4.0\% \times 500.000 = 20.000\text{ suara}$$
Semua partai ($A, B, C, D, E$) memenuhi batas $\ge 20.000$ suara dan berhak diikutsertakan.
2. **Daftar Kuosien Pembagi Ganjil Sainte-Laguë:**
- **Partai A:**
$... | Partai A: 2 kursi, Partai B: 2 kursi, Partai C: 1 kursi, Partai D: 1 kursi, Partai E: 0 kursi | \boxed{\text{Partai A: 2 kursi, Partai B: 2 kursi, Partai C: 1 kursi, Partai D: 1 kursi, Partai E: 0 kursi}} |
LUMINA_EXP_00207 | Political Science & Cooperative Game Theory | Penrose-Banzhaf Voting Power Index in Weighted Majority Games | long | Sebuah dewan legislatif daerah beranggotakan 4 fraksi politik dalam sistem pemungutan suara berbobot (weighted voting game) yang dinotasikan sebagai $[q; w_1, w_2, w_3, w_4] = [6; 4, 3, 2, 1]$, di mana kuota pengesahan keputusan mayoritas sederhana adalah $q = 6$ suara, dan bobot suara masing-masing fraksi adalah $w = ... | Kita menganalisis teori permainan kooperatif dan indeks kekuatan pemungutan suara Penrose-Banzhaf pada badan legislatif.
Langkah 1: Formalisasi Permainan Pemungutan Suara Berbobot (Weighted Voting Game).
Himpunan pemain: N = {1, 2, 3, 4}.
Vektor bobot: w = (w_1, w_2, w_3, w_4) = (4, 3, 2, 1).
Total bobot seluruh pemai... | from itertools import combinations
def banzhaf_analysis():
weights = {"F1": 4, "F2": 3, "F3": 2, "F4": 1}
q = 6
players = list(weights.keys())
n = len(players)
swings = {p: 0 for p in players}
winning_coalitions = []
for r in range(1, n + 1):
for combo in combinations(players, ... | Total Koalisi Pemenang: 7
Koalisi ('F1', 'F2')
Koalisi ('F1', 'F3')
Koalisi ('F1', 'F2', 'F3')
Koalisi ('F1', 'F2', 'F4')
Koalisi ('F1', 'F3', 'F4')
Koalisi ('F2', 'F3', 'F4')
Koalisi ('F1', 'F2', 'F3', 'F4')
Jumlah Ayunan (Swings): {'F1': 5, 'F2': 3, 'F3': 3, 'F4': 1}
Indeks Banzhaf Ternormalisasi: {'F1'... | Analisis teori permainan kooperatif membuktikan terdapat 7 koalisi pemenang dengan total 12 ayunan, menghasilkan Indeks Banzhaf F1=41.67%, F2=25%, F3=25%, dan F4=8.33%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Daftar Koalisi Pemenang ($w(S) \ge 6$):**
Dari 16 subset, terdapat 7 koalisi pemenang:
- Kardinalitas 2: $\{F_1, F_2\}$ (bobot 7), $\{F_1, F_3\}$ (bobot 6).
- Kardinalitas 3: $\{F_1, F_2, F_3\}$ (bobot 9), $\{F_1, F_2, F_4\}$ (bobot 8), $\{F_1, F_3, F_4\}$ (bobot 7), $\{F_2, F_3,... | beta = (5/12, 1/4, 1/4, 1/12) approx (41.67%, 25.00%, 25.00%, 8.33%) | \boxed{\beta = \left( \frac{5}{12}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12} \right) \approx (41.67\%, \; 25.00\%, \; 25.00\%, \; 8.33\%)} |
LUMINA_EXP_00208 | Political Geometry & Redistricting Law | Polsby-Popper Isoperimetric Compactness Metric in Gerrymandering Detection | short | Dalam audit yuridis pemetaan daerah pemilihan (*redistricting*) untuk mendeteksi manipulasi batas dapil (*gerrymandering*), pengadilan menggunakan skor kekompakan isoperimetrik Polsby-Popper ($PP$) yang didefinisikan sebagai:
$$PP = \frac{4\pi A}{P^2}$$
di mana $A$ adalah luas wilayah distrik dan $P$ adalah panjang kel... | Kita menganalisis geometri isoperimetrik dan metrik hukum tata negara Polsby-Popper untuk deteksi gerrymandering.
Langkah 1: Landasan Teorema Ketaksamaan Isoperimetrik.
Teorema isoperimetrik klasik pada bidang Euclidean R^2 menyatakan bahwa untuk setiap kurva tertutup sederhana dengan panjang keliling P yang melingkup... | import math
def polsby_popper_metric():
l, w = 50.0, 2.0
a_rect = l * w
p_rect = 2.0 * (l + w)
pp_rect = (4.0 * math.pi * a_rect) / (p_rect ** 2)
pp_hex = math.pi / (2.0 * math.sqrt(3.0))
assert a_rect == 100.0
assert p_rect == 104.0
assert abs(pp_hex - 0.90689968) < 1e-6
retur... | Polsby-Popper Distrik Persegi Panjang: 0.11618
Polsby-Popper Heksagon Reguler: 0.90690
Status Indikasi Gerrymandering (PP < 0.15): True | Kalkulasi isoperimetrik menunjukkan distrik persegi panjang memiliki skor Polsby-Popper 0.11613 (< 0.15), membuktikan anomali bentuk geometris yang mengindikasikan gerrymandering. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Batas Teoretis Isoperimetrik:**
Berdasarkan Teorema Ketaksamaan Isoperimetrik pada bidang datar:
$$4\pi A \le P^2 \implies PP = \frac{4\pi A}{P^2} \le 1$$
Nilai maksimum $PP = 1$ dicapai secara eksklusif oleh bentuk **lingkaran sempurna**.
2. **Skor Polsby-Popper Distrik Persegi... | PP_rect = 0.11613, PP_hex = 0.90690 | \boxed{PP_{\text{rect}} = \frac{25\pi}{676} \approx 0.11613, \quad PP_{\text{hex}} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.90690} |
LUMINA_EXP_00209 | Political Science & Spatial Voting Theory | Median Voter Theorem and Nash Equilibrium in One-Dimensional Ideology | medium | Dalam model persaingan politik spasial Hotelling-Downs pada spektrum ideologi satu dimensi $x \in [0, 100]$ (dari kiri ekstrem $0$ ke kanan ekstrem $100$), distribusi preferensi ideal pemilih berdistribusi kontinu dengan fungsi kepadatan probabilitas (PDF) segitiga simetris:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2500}, & 0 \... | Kita menganalisis teori pilihan publik, model spasial Hotelling-Downs, dan Teorema Pemilih Median (Median Voter Theorem).
Langkah 1: Menentukan Posisi Median Pemilih.
Fungsi kepadatan probabilitas segitiga f(x) pada [0, 100] memiliki simetri sempurna terhadap titik x = 50.
Fungsi distribusi kumulatif CDF F(x) untuk x ... | def median_voter_model():
x_med = 50.0
x1 = 30.0
# Candidate 2 places at x2 = 30 + epsilon
c = 30.0
v1_share = (c ** 2) / 5000.0 # 0.18
v2_share = 1.0 - v1_share # 0.82
assert x_med == 50.0
assert abs(v1_share - 0.18) < 1e-9
assert abs(v2_share - 0.82) < 1e-9
return x_med, v1_... | Median Voter: x = 50.0
Respons Terbaik Kandidat 2 saat x1 = 30: Merebut 82.0% suara vs 18.0%
Ekuilibrium Nash: x1* = x2* = 50.0 | Analisis Hotelling-Downs mengonfirmasi median voter berada pada x = 50, respons terbaik x2 = 30+epsilon merebut 82% suara, dan Ekuilibrium Nash stabil di x1* = x2* = 50. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Posisi Pemilih Median ($x_{\text{med}}$):**
Fungsi distribusi kumulatif untuk $x \le 50$:
$$F(x) = \int_0^x \frac{t}{2500} dt = \frac{x^2}{5000}$$
Syarat median $F(x_{\text{med}}) = 0.5$:
$$\frac{x_{\text{med}}^2}{5000} = 0.5 \implies x_{\text{med}}^2 = 2500 \implies x_{\text{... | x_med = 50, V1 = 18%, V2 = 82%, Nash equilibrium x1* = x2* = 50 | \boxed{x_{\text{med}} = 50, \quad V_1 = 18\%, \; V_2 = 82\%, \quad x_1^* = x_2^* = 50} |
LUMINA_EXP_00210 | Political Science & Combinatorial Probability | Parliamentary Quorum and Probability of Majority Passage Under Absenteeism | short | Sebuah majelis parlemen terdiri dari $N = 100$ anggota dewan. Sebuah rancangan undang-undang strategis memerlukan syarat kuorum sah sidang paripurna, yaitu kehadiran minimal dua pertiga anggota dewan ($K \ge 67$ orang).
Jika setiap anggota dewan hadir secara independen dengan probabilitas kehadiran $p = 0.80$:
1. Tentu... | Kita menganalisis probabilitas kehadiran legislatif, hukum kuorum parlemen, dan aproksimasi normal distribusi binomial.
Langkah 1: Parameter Distribusi Binomial.
Jumlah anggota N = 100.
Probabilitas kehadiran independen p = 0.80.
Ekspektasi kehadiran:
mu = E[K] = N * p = 100 * 0.80 = 80 orang.
Varians kehadiran:
sigma... | import math
def parliamentary_quorum():
n = 100
p = 0.80
mu = n * p
var = n * p * (1.0 - p)
sigma = math.sqrt(var)
k_min = 67
cutoff = k_min - 0.5 # 66.5
z = (cutoff - mu) / sigma
prob_quorum = 0.5 * (1.0 + math.erf(-z / math.sqrt(2.0)))
prob_fail = 1.0 - prob_quorum
assert ... | Ekspektasi Kehadiran: 80 orang, Deviasi Standar: 4.0
Skor z: -3.375, Probabilitas Kuorum Terpenuhi: 99.963%
Probabilitas Kuorum Gagal: 0.0369% | Aproksimasi normal membuktikan ekspektasi kehadiran 80 orang (sigma = 4), menghasilkan probabilitas kuorum 99.963% (z = -3.375) dan probabilitas gagal 0.037%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Parameter Ekspektasi dan Varians Kehadiran:**
$$\mathbb{E}[K] = N p = 100 \times 0.80 = 80\text{ orang}$$
$$\sigma_K = \sqrt{N p (1 - p)} = \sqrt{100 \times 0.80 \times 0.20} = \sqrt{16} = 4\text{ orang}$$
2. **Aproksimasi Normal dengan Koreksi Kontinuitas:**
Syarat $K \ge 67$ d... | E[K] = 80 orang, sigma = 4, P(Kuorum) = 99.963% | \boxed{\mathbb{E}[K] = 80\text{ orang}, \quad \sigma_K = 4, \quad P(\text{Kuorum}) \approx 99.963\% \; (z = -3.375)} |
LUMINA_EXP_00211 | Industrial Engineering & Operations Research | Economic Production Quantity (EPQ) with Finite Production Rate | medium | Sebuah pabrik perakitan komponen presisi memiliki laju permintaan pasar konstan $D = 24.000\text{ unit/tahun}$. Fasilitas produksi internal memiliki kapasitas laju manufaktur $P = 48.000\text{ unit/tahun}$. Setiap kali siklus produksi dijalankan, timbul biaya penyetelan mesin (*setup cost*) sebesar $S = \text{Rp } 1.50... | Kita menganalisis optimasi manajemen persediaan industri manufaktur melalui model Economic Production Quantity (EPQ).
Langkah 1: Penurunan Model Matematis EPQ.
Pada model EPQ, produksi dan konsumsi berlangsung simultan selama fase produksi t_p.
Laju penambahan inventaris netto adalah:
dP/dt = P - D (selama fase produk... | import math
def epq_optimization():
D = 24000.0
P = 48000.0
S = 1500000.0
H = 25000.0
days = 240.0
factor = 1.0 - (D / P) # 0.5
Q_star = math.sqrt((2.0 * D * S) / (H * factor))
TC_star = math.sqrt(2.0 * D * S * H * factor)
tp_days = (Q_star / P) * days
T_days = (Q_star... | Ukuran Batch EPQ Q*: 2400 unit
Total Biaya Minimum TC*: Rp 30,000,000/tahun
Durasi Produksi Aktif: 12.0 hari, Periode Siklus Total: 24.0 hari | Optimasi operasional EPQ membuktikan batch ekonomis 2.400 unit menghasilkan biaya inventaris minimum Rp 30.000.000 dengan siklus produksi 12 hari aktif dalam 24 hari total. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Formulasi Economic Production Quantity:**
$$Q^* = \sqrt{\frac{2 D S}{H \left(1 - \frac{D}{P}\right)}}$$
Dengan faktor pengisian bertahap:
$$1 - \frac{D}{P} = 1 - \frac{24.000}{48.000} = 0.5$$
2. **Perhitungan Batch Optimal $Q^*$ dan Total Biaya:**
$$Q^* = \sqrt{\frac{2 \times... | Q* = 2400 unit, TC* = Rp 30.000.000/tahun, t_p = 12 hari, T = 24 hari | \boxed{Q^* = 2.400\text{ unit}, \quad TC^* = \text{Rp } 30.000.000\text{/tahun}, \quad t_p = 12\text{ hari}, \quad T = 24\text{ hari}} |
LUMINA_EXP_00212 | Industrial Engineering & Maintenance Management | Overall Equipment Effectiveness (OEE) Decomposition and TPM Losses | short | Sebuah stasiun kerja CNC beroperasi pada shift kerja 8 jam ($480\text{ menit}$) per hari. Jadwal henti terencana untuk briefing K3 dan pembersihan adalah $60\text{ menit}$. Selama waktu operasional, terjadi gangguan teknis kerusakan alat tak terencana (*unplanned breakdown*) selama $40\text{ menit}$. Mesin dirancang de... | Kita menganalisis pemeliharaan produktif total (TPM) dan dekomposisi metrik efisiensi industri OEE.
Langkah 1: Perhitungan Ketersediaan (Availability).
Waktu shift total = 480 menit.
Waktu kerja terencana (Planned Production Time):
PPT = 480 - 60 = 420 menit.
Waktu operasi aktual (Operating Time):
OT = PPT - Unplanned... | def calculate_oee():
shift = 480.0
planned_dt = 60.0
ppt = shift - planned_dt # 420
unplanned_dt = 40.0
ot = ppt - unplanned_dt # 380
avail = ot / ppt # 19 / 21
ideal_cycle = 0.5
total_units = 680.0
defect_units = 34.0
good_units = total_units - defect_units
perf =... | Availability (A): 90.48%
Performance (P): 89.47%
Quality (Q): 95.00%
Overall Equipment Effectiveness (OEE): 76.90% | Dekomposisi TPM mengonfirmasi Availability 90.48%, Performance 89.47%, Quality 95.00%, menghasilkan nilai OEE keseluruhan 76.90%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Tingkat Ketersediaan (*Availability*, $A$):**
$$PPT = 480\text{ menit} - 60\text{ menit} = 420\text{ menit}$$
$$OT = 420\text{ menit} - 40\text{ menit} = 380\text{ menit}$$
$$A = \frac{OT}{PPT} = \frac{380}{420} = \frac{19}{21} \approx 90.48\%$$
2. **Efisiensi Kinerja (*Performa... | A = 90.48%, P = 89.47%, Q = 95.00%, OEE = 76.90% | \boxed{A = 90.48\%, \quad P = 89.47\%, \quad Q = 95.00\%, \quad \text{OEE} \approx 76.90\%} |
LUMINA_EXP_00213 | Industrial Engineering & Operations Research | Critical Path Method (CPM) and PERT Variance in Project Scheduling | long | Sebuah proyek implementasi sel manufaktur robotik terdiri dari 6 paket aktivitas $A, B, C, D, E, F$ dengan jaringan presedensi dan estimasi durasi tiga-titik PERT ($a$ optimis, $m$ paling mungkin, $b$ pesimis dalam satuan minggu):
- Aktivitas A: Tanpa pendahulu, estimasi $(a, m, b) = (2, 4, 6)$
- Aktivitas B: Tanpa pen... | Kita menganalisis perencanaan dan pengendalian proyek industri melalui metode jalur kritis (CPM) dan analisis ketidakpastian PERT.
Langkah 1: Perhitungan Nilai Ekspektasi dan Varians Masing-Masing Aktivitas.
Formula pendekatan distribusi Beta standar PERT:
mu = (a + 4m + b) / 6
sigma^2 = [ (b - a) / 6 ]^2
Mari kita e... | import math
def pert_cpm_robotics():
tasks = {
"A": (2, 4, 6),
"B": (3, 6, 9),
"C": (2, 5, 8),
"D": (4, 7, 10),
"E": (3, 4, 11),
"F": (1, 2, 9),
}
means = {k: (a + 4.0 * m + b) / 6.0 for k, (a, m, b) in tasks.items()}
vars_ = {k: ((b - a) / 6.0) ** 2 for ... | Durasi Ekspektasi Aktivitas: {'A': 4.0, 'B': 6.0, 'C': 5.0, 'D': 7.0, 'E': 5.0, 'F': 3.0}
Jalur Kritis: B -> D -> E, Durasi TE = 18.0 minggu
Varians: 3.7778, Sigma Proyek: 1.9437 minggu
Nilai z (T=20): 1.0290, Probabilitas Selesai <= 20 minggu: 84.83% | Evaluasi PERT/CPM membuktikan Jalur Kritis B-D-E berdurasi 18 minggu dengan deviasi standar 1.9437 minggu, menghasilkan probabilitas tepat waktu 84.82% pada target 20 minggu. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Durasi Ekspektasi dan Varians Masing-Masing Aktivitas:**
- $\mu_A = \frac{2 + 16 + 6}{6} = 4.0$, $\quad \sigma_A^2 = \left(\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{4}{9}$
- $\mu_B = \frac{3 + 24 + 9}{6} = 6.0$, $\quad \sigma_B^2 = \left(\frac{6}{6}\right)^2 = 1.0$
- $\mu_C = \frac{2 + 20 + 8... | Jalur Kritis B -> D -> E, T_E = 18 minggu, sigma = 1.94 minggu, P(T <= 20) = 84.82% | \boxed{\text{Jalur Kritis: } B \to D \to E, \quad T_E = 18\text{ minggu}, \quad \sigma_{\text{proj}} = \frac{\sqrt{34}}{3} \approx 1.94\text{ minggu}, \quad P(T \le 20) \approx 84.82\%} |
LUMINA_EXP_00214 | Industrial Quality Engineering & Six Sigma | Process Capability Indices Cp, Cpk, and Cpm with Target Deviation | short | Sebuah proses manufaktur bushing presisi memiliki batas toleransi spesifikasi teknik $\text{LSL} = 19.80\text{ mm}$ dan $\text{USL} = 20.20\text{ mm}$, dengan target nominal desain $T = 20.00\text{ mm}$. Berdasarkan pengukuran sampel besar dalam pengendalian proses statistik (SPC), proses beroperasi secara stabil denga... | Kita menganalisis pengendalian mutu statistik Six Sigma dan kapabilitas proses manufaktur presisi.
Langkah 1: Perhitungan Indeks Kapabilitas Potensial Cp.
Rentang toleransi spesifikasi:
Toleransi = USL - LSL = 20.20 - 19.80 = 0.40 mm.
Lebar variasi alami proses 6-sigma:
6 * sigma = 6 * 0.04 = 0.24 mm.
Indeks potensi p... | import math
def six_sigma_indices():
lsl, usl, target = 19.80, 20.20, 20.00
mu = 20.04
sigma = 0.04
cp = (usl - lsl) / (6.0 * sigma)
cpu = (usl - mu) / (3.0 * sigma)
cpl = (mu - lsl) / (3.0 * sigma)
cpk = min(cpu, cpl)
tau = math.sqrt(sigma**2 + (mu - target)**2)
cpm = (us... | Cp (Potensial): 1.6667
Cpk (Aktual): 1.3333
Cpm (Taguchi Target): 1.1785
Memenuhi Kriteria Cpk >= 1.33: True | Analisis Six Sigma membuktikan Cp = 1.6667, Cpk = 1.3333 (memenuhi batas minimum industri >= 1.33), dan indeks Taguchi Cpm = 1.1785 akibat pergeseran rata-rata 0.04 mm. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Indeks Kapabilitas Potensial ($C_p$):**
$$C_p = \frac{\text{USL} - \text{LSL}}{6\sigma} = \frac{20.20 - 19.80}{6 \times 0.04} = \frac{0.40}{0.24} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$$
2. **Indeks Kapabilitas Aktual ($C_{pk}$):**
$$\text{CPU} = \frac{\text{USL} - \mu}{3\sigma} = \frac{20.2... | Cp = 1.667, Cpk = 1.333, Cpm = 1.179, Status: Memenuhi (>= 1.33) | \boxed{C_p = \frac{5}{3} \approx 1.667, \quad C_{pk} = \frac{4}{3} \approx 1.333, \quad C_{pm} = \frac{5}{3\sqrt{2}} \approx 1.179, \quad \text{Status: Memenuhi}} |
LUMINA_EXP_00215 | Industrial Engineering & Queueing Theory | M/M/c Multiserver Queueing Dynamics and Erlang C Formula | medium | Sebuah fasilitas layanan perbankan memiliki $c = 3$ loket teller yang beroperasi secara paralel. Nasabah datang mengikuti proses Poisson dengan laju kedatangan $\lambda = 45\text{ nasabah/jam}$. Waktu pelayanan nasabah pada setiap loket berdistribusi eksponensial dengan laju rata-rata $\mu = 20\text{ nasabah/jam}$ per ... | Kita menganalisis teori antrean industri multi-server M/M/c dan penerapan Formula Penundaan Erlang-C.
Langkah 1: Parameter Sistem Antrean.
Jumlah server: c = 3.
Laju kedatangan: lambda = 45 nasabah/jam.
Laju pelayanan per server: mu = 20 nasabah/jam.
Intensitas beban lalu lintas (Erlang load):
a = lambda / mu = 45 / 2... | import math
def mmc_queue():
c = 3
lam = 45.0
mu = 20.0
a = lam / mu # 2.25
rho = a / c # 0.75
s0 = sum((a ** k) / math.factorial(k) for k in range(c))
term_c = (a ** c) / (math.factorial(c) * (1.0 - rho))
p0 = 1.0 / (s0 + term_c)
pw = term_c * p0
lq = (pw * rho) / (1... | Intensitas Trafik a: 2.25 Erlang, Utilisasi: 75.0%
P0 (Sistem Menganggur): 7.48%
Probabilitas Menunggu Erlang C: 56.78%
Panjang Antrean Lq: 1.703 nasabah, Waktu Tunggu Wq: 2.27 menit | Kalkulasi antrean M/M/3 membuktikan intensitas trafik 2.25 Erlang, utilisasi 75%, probabilitas menunggu Erlang C 56.78%, panjang antrean Lq 1.703 nasabah, dan waktu tunggu rata-rata 2.27 menit. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Intensitas Trafik dan Utilisasi Server:**
$$a = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{45}{20} = 2.25\text{ Erlang}$$
$$\rho = \frac{a}{c} = \frac{2.25}{3} = 0.75\; (75\%)$$
2. **Probabilitas Sistem Menganggur ($P_0$):**
$$\sum_{k=0}^{2} \frac{a^k}{k!} = 1 + 2.25 + \frac{2.25^2}{2} = 5.781... | a = 2.25, rho = 0.75, P0 = 7.48%, P_W = 56.78%, Lq = 1.703, Wq = 2.27 menit | \boxed{a = 2.25, \quad \rho = 0.75, \quad P_0 = \frac{8}{107} \approx 7.48\%, \quad P_W = \frac{243}{428} \approx 56.78\%, \quad L_q \approx 1.703, \quad W_q \approx 2.27\text{ menit}} |
LUMINA_EXP_00216 | Macroeconomics & Public Finance | Laffer Curve and Optimal Fiscal Revenue Maximization | medium | Dalam analisis penerimaan fiskal negara, Kurva Laffer memodelkan penerimaan pajak total $T(t)$ sebagai fungsi dari tarif pajak proporsional $t \in [0, 1]$. Misalkan basis pajak nasional (pendapatan agregat yang dapat dikenakan pajak) menyusut seiring peningkatan tarif pajak akibat disinsentif kerja dan penghindaran paj... | Kita menganalisis kebijakan fiskal makroekonomi kenegaraan dan optimasi Kurva Laffer.
Langkah 1: Formulasi Matematis Penerimaan Pajak.
Penerimaan pajak total T(t) adalah hasil kali tarif pajak t dengan basis pajak riil Y(t):
T(t) = t * Y(t) = t * Y_0 * (1 - alpha * t) = Y_0 * (t - alpha * t^2).
Dengan parameter Y_0 = ... | def laffer_curve_opt():
y0 = 1000.0
alpha = 0.8
t_star = 1.0 / (2.0 * alpha)
t_rev_max = y0 * (t_star - alpha * (t_star ** 2))
# Test at prohibitive rate t = 0.80
t_high = 0.80
rev_high = y0 * (t_high - alpha * (t_high ** 2))
assert abs(t_star - 0.625) < 1e-9
assert abs(t_r... | Tarif Pajak Optimal t*: 62.5%
Penerimaan Pajak Maksimum: Rp 312.5 Triliun
Penerimaan pada Tarif 80% (Zona Terlarang): Rp 288.0 Triliun | Optimasi kalkulus membuktikan tarif pajak pemaksimum penerimaan negara berada pada t* = 62.5% dengan penerimaan fiskal puncak Rp 312.5 Triliun. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Formulasi Kurva Laffer:**
$$T(t) = t \cdot Y(t) = t \cdot Y_0 (1 - \alpha t) = Y_0 (t - \alpha t^2)$$
Dengan $Y_0 = 1.000\text{ T}$ dan $\alpha = 0.8$:
$$T(t) = 1.000 (t - 0.8 t^2)$$
2. **Kondisi Optimum Orde Pertama:**
$$\frac{dT}{dt} = 1.000 (1 - 1.6 t) = 0 \implies t^* = \... | t* = 62.5%, T_max = Rp 312.5 Triliun, Zona Terlarang t > 62.5% | \boxed{t^* = 62.5\%, \quad T_{\max} = \text{Rp } 312.5\text{ Triliun}, \quad \text{Zona Terlarang: } t > 62.5\%} |
LUMINA_EXP_00217 | Macroeconomics & National Accounting | Keynesian Fiscal Multiplier and Balanced Budget Theorem | short | Dalam perekonomian makro tertutup model Keynesian Cross, fungsi konsumsi agregat rumah tangga adalah:
$$C = C_0 + c(Y - T)$$
di mana $c = 0.75$ adalah kecenderungan konsumsi marginal (*marginal propensity to consume*, MPC). Variabel investasi $I_0$, belanja pemerintah $G$, dan pajak lump-sum $T$ bersifat eksogen.
1. Hi... | Kita menganalisis model pendapatan nasional Keynesian dan Teorema Pengganda Anggaran Berimbang Haavelmo.
Langkah 1: Penurunan Model Keseimbangan Pendapatan Nasional.
Identitas pendapatan agregat:
Y = C + I + G
Substitusi fungsi konsumsi C = C_0 + c(Y - T):
Y = C_0 + c(Y - T) + I_0 + G
Y - c Y = C_0 - c T + I_0 + G
Y(1... | def keynesian_multipliers():
c = 0.75
k_G = 1.0 / (1.0 - c)
k_T = -c / (1.0 - c)
k_BB = k_G + k_T
delta_G = 50.0
delta_T = 50.0
delta_Y = k_G * delta_G + k_T * delta_T
assert abs(k_G - 4.0) < 1e-9
assert abs(k_T - (-3.0)) < 1e-9
assert abs(k_BB - 1.0) < 1e-9
assert ... | Multiplier Belanja (k_G): 4.0
Multiplier Pajak (k_T): -3.0
Multiplier Anggaran Berimbang (k_BB): 1.0
Ekspansi PDB Bersih (Delta Y): Rp 50.0 Triliun | Verifikasi makroekonomi membuktikan k_G = 4.0 dan k_T = -3.0, memvalidasi Teorema Haavelmo dengan multiplier anggaran berimbang k_BB = 1.0 (ekspansi PDB Rp 50 Triliun). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Angka Pengganda Belanja Pemerintah ($k_G$):**
$$k_G = \frac{1}{1 - c} = \frac{1}{1 - 0.75} = \frac{1}{0.25} = 4.0$$
2. **Angka Pengganda Pajak ($k_T$):**
$$k_T = -\frac{c}{1 - c} = -\frac{0.75}{0.25} = -3.0$$
3. **Teorema Anggaran Berimbang Haavelmo:**
Kenaikan simultan $\Delta... | k_G = 4.0, k_T = -3.0, k_BB = 1.0, Delta Y = 50 Triliun | \boxed{k_G = 4.0, \quad k_T = -3.0, \quad k_{\text{BB}} = 1.0, \quad \Delta Y = 50\text{ Triliun}} |
LUMINA_EXP_00218 | Macroeconomics & Development Economics | Human Development Index (HDI) Geometric Aggregation Methodology | medium | Berdasarkan metodologi baku UNDP, Indeks Pembangunan Manusia (IPM / HDI) dihitung menggunakan rata-rata geometrik dari tiga indeks dimensi: Kesehatan ($I_{\text{kesehatan}}$), Pendidikan ($I_{\text{pendidikan}}$), dan Standar Hidup Layak ($I_{\text{pendapatan}}$):
$$\text{IPM} = \sqrt[3]{I_{\text{kesehatan}} \cdot I_{\... | Kita menganalisis indeks komposit pembangunan kenegaraan dan agregasi geometrik IPM UNDP.
Langkah 1: Perhitungan Indeks Dimensi Kesehatan.
Formula indeks dimensi linier:
I = (Nilai Aktual - Nilai Minimum) / (Nilai Maksimum - Nilai Minimum)
Untuk Umur Harapan Hidup (AHH):
AHH = 73.5 tahun.
Min = 20 tahun, Max = 85 tahu... | import math
def calculate_hdi():
# 1. Health
ahh = 73.5
i_health = (ahh - 20.0) / (85.0 - 20.0) # 53.5 / 65
# 2. Education
hls = 13.5
rls = 9.0
i_hls = hls / 18.0
i_rls = rls / 15.0
i_edu = (i_hls + i_rls) / 2.0
# 3. Income
y = 14000000.0
y_min = 1000000.0
... | Indeks Kesehatan: 0.8231
Indeks Pendidikan: 0.6750
Indeks Pendapatan: 0.8007
Skor IPM (Skala 0-1): 0.7634 (Skala 100: 76.34) | Kalkulasi UNDP mengonfirmasi Indeks Kesehatan 0.8231, Pendidikan 0.6750, Pendapatan 0.8007, menghasilkan nilai agregat IPM 0.7634 (Kategori Tinggi). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Indeks Kesehatan ($I_{\text{kesehatan}}$):**
$$I_{\text{kesehatan}} = \frac{73.5 - 20}{85 - 20} = \frac{53.5}{65} \approx 0.82308$$
2. **Indeks Pendidikan ($I_{\text{pendidikan}}$):**
$$I_{\text{HLS}} = \frac{13.5}{18} = 0.75, \quad I_{\text{RLS}} = \frac{9.0}{15} = 0.60$$
$$I_{... | I_kes = 0.8231, I_pend = 0.6750, I_inc = 0.8007, IPM = 0.7634 (76.34) | \boxed{I_{\text{kes}} \approx 0.8231, \quad I_{\text{pend}} = 0.6750, \quad I_{\text{inc}} \approx 0.8007, \quad \text{IPM} \approx 0.7634 \; (76.34)} |
LUMINA_EXP_00219 | Macroeconomics & Economic Growth Theory | Solow-Swan Growth Model and Golden Rule of Capital Accumulation | long | Dalam teori pertumbuhan ekonomi neoklasik Robert Solow & Trevor Swan, fungsi produksi agregat suatu negara berbentuk Cobb-Douglas intensif tenaga kerja efektif:
$$y = f(k) = k^\alpha$$
di mana $k = K / (A L)$ adalah rasio modal per tenaga kerja efektif, $y = Y / (A L)$ adalah output per tenaga kerja efektif, dan elasti... | Kita menganalisis teori pertumbuhan makroekonomi neoklasik Solow-Swan dan Aturan Emas Akumulasi Modal (Golden Rule of Capital).
Langkah 1: Persamaan Fundamental Dinamika Solow-Swan.
Variabel intensif:
k = K / (A * L).
Laju penyusutan efektif modal per tenaga kerja:
n + g + delta = 0.02 + 0.03 + 0.05 = 0.10 per tahun.
... | import math
def solow_golden_rule():
alpha = 0.30
n, g, delta = 0.02, 0.03, 0.05
eff_depr = n + g + delta # 0.10
# 1. Actual s = 0.20
s_act = 0.20
k_act = (s_act / eff_depr) ** (1.0 / (1.0 - alpha))
y_act = k_act ** alpha
c_act = y_act - eff_depr * k_act
# 2. Golden Rule s... | Kondisi Aktual (s = 20%): k* = 2.6918, y* = 1.3459, c* = 1.0767
Aturan Emas (s_gold = 30%): k_gold = 4.8040, y_gold = 1.6013, c_gold = 1.1209 | Analisis Solow-Swan membuktikan tabungan Aturan Emas s_gold = 30% memaksimumkan konsumsi steady-state menjadi c* = 1.1220 (dibandingkan c* = 1.0767 pada tabungan aktual 20%). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Kondisi Mapan Pertumbuhan Solow-Swan:**
$$\dot{k} = s k^\alpha - (n + g + \delta)k = 0$$
$$k^* = \left[ \frac{s}{n + g + \delta} \right]^{\frac{1}{1 - \alpha}}$$
Dengan $n + g + \delta = 0.02 + 0.03 + 0.05 = 0.10$.
2. **Tingkat Modal dan Tabungan Aturan Emas (*Golden Rule*):**
... | s_gold = 30%, k_gold = 4.796, c_gold = 1.122 (Aktual: k* = 2.692, c* = 1.077) | \boxed{s_{\text{gold}} = 30\%, \quad k_{\text{gold}} \approx 4.796, \quad c_{\text{gold}} \approx 1.122 \; (\text{Aktual: } k^* \approx 2.692, \; c^* \approx 1.077)} |
LUMINA_EXP_00220 | International Economics & Monetary Law | Balassa-Samuelson Effect and Purchasing Power Parity Deviations | short | Dalam ekonomi moneter internasional dan penetapan nilai tukar kenegaraan, Efek Balassa-Samuelson menjelaskan mengapa tingkat harga riil negara berkembang tampak lebih murah daripada negara maju berdasarkan disparitas produktivitas sektor barang terdagangkan (*tradable*, $T$) versus barang tidak terdagangkan (*non-trada... | Kita menganalisis nilai tukar riil internasional, paritas daya beli (PPP), dan model produktivitas Balassa-Samuelson.
Langkah 1: Penentuan Harga Sektor di Masing-Masing Negara.
Hukum Satu Harga (LOOP) menjamin harga barang tradable sama secara internasional:
P_T^D = P_T^F = 1.
Upah ditentukan oleh produktivitas sektor... | import math
def balassa_samuelson():
# Developing Country D
at_d, an_d = 2.0, 1.0
pn_d = at_d / an_d
p_d = math.sqrt(1.0 * pn_d)
# Developed Country F
at_f, an_f = 8.0, 2.0
pn_f = at_f / an_f
p_f = math.sqrt(1.0 * pn_f)
ratio = p_f / p_d
assert abs(pn_d - 2.0) < 1e-9
... | Indeks Harga Negara Berkembang (P_D): 1.4142
Indeks Harga Negara Maju (P_F): 2.0000
Rasio Deviasi Harga PPP (P_F / P_D): 1.4142 (Deviasi: +41.4%) | Model Balassa-Samuelson membuktikan P_D = sqrt(2) dan P_F = 2.0, menghasilkan rasio harga relatif sqrt(2) approx 1.4142 (deviasi harga 41.4% di atas PPP). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Harga Sektor Tradable dan Non-Tradable:**
$$P_T = 1, \quad P_N = \frac{A_T}{A_N}$$
- **Negara Berkembang ($D$):**
$$P_N^D = \frac{2}{1} = 2.0 \implies P^D = \sqrt{1.0 \times 2.0} = \sqrt{2} \approx 1.4142$$
- **Negara Maju ($F$):**
$$P_N^F = \frac{8}{2} = 4.0 \implies P... | P^D = sqrt(2), P^F = 2.0, P^F / P^D = sqrt(2) approx 1.414 (+41.42%) | \boxed{P^D = \sqrt{2} \approx 1.414, \quad P^F = 2.0, \quad \frac{P^F}{P^D} = \sqrt{2} \approx 1.414 \; (+41.42\%)} |
LUMINA_EXP_00221 | Civil Law & Contract Analytics | Expectation vs Reliance Damages in Commercial Breach of Contract | medium | Dalam hukum perdata perikatan kontrak bisnis (Restatement Second of Contracts § 347 dan Pasal 1243 KUHPerdata), penggantian ganti rugi wanprestasi bertujuan mengembalikan posisi kreditur seandainya debitur memenuhi prestasi kontraknya secara sempurna (*Expectation Damages*). Formula yuridis ganti rugi ekspektasi adalah... | Kita menganalisis hukum perikatan perdata, ganti rugi wanprestasi, dan kalkulasi yuridis expectation damages.
Langkah 1: Identifikasi Komponen Menurut Restatement (Second) of Contracts § 347.
- Nilai total kontrak: V = Rp 5.000.000.000.
- Uang muka yang telah diterima: P_paid = Rp 1.000.000.000.
1. Loss in Value (Keru... | def expectation_damages():
v_total = 5000000000.0
p_paid = 1000000000.0
c_expended = 1800000000.0
c_avoided = 2400000000.0
other_loss = 150000000.0
# Method 1: Restatement § 347
loss_in_value = v_total - p_paid # 4,000,000,000
d_exp = loss_in_value + other_loss - c_avoided # 1,750,0... | Loss in Value: Rp 4,000,000,000
Ekspektasi Laba Bersih Proyek: Rp 800,000,000
Ganti Rugi Ekspektasi Bersih (D_exp): Rp 1,750,000,000 | Kalkulasi hukum perdata membuktikan Loss in Value Rp 4 Miliar dikurangi biaya terhindarkan Rp 2.4 Miliar ditambah kerugian lain Rp 150 Juta menghasilkan ganti rugi bersih Rp 1.75 Miliar. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Komponen Kerugian Nilai Kontrak (*Loss in Value*):**
$$\text{Loss in Value} = V - P_{\text{paid}} = 5.000.000.000 - 1.000.000.000 = \text{Rp } 4.000.000.000$$
2. **Formulasi Ganti Rugi Ekspektasi (Restatement § 347):**
$$D_{\text{exp}} = \text{Loss in Value} + \text{Other Loss} - \... | D_exp = Rp 1.750.000.000 (Loss in Value: Rp 4.000.000.000) | \boxed{D_{\text{exp}} = \text{Rp } 1.750.000.000 \; (\text{Loss in Value: Rp } 4.000.000.000, \; \text{Laba: Rp } 800.000.000)} |
LUMINA_EXP_00222 | Legal Analytics & Criminal Epistemology | Volokh-Kaplan Ratio and Mathematical Threshold of Beyond Reasonable Doubt | short | Dalam filsafat hukum acara pidana, adagium hukum Blackstone (1765) menyatakan: *'Lebih baik sepuluh orang bersalah melarikan diri daripada satu orang tidak bersalah menderita'*. Eugene Volokh dan John Kaplan merumuskan standar pembuktian melampaui keraguan yang beralasan (*Beyond Reasonable Doubt*, BRD) melalui Teori K... | Kita menganalisis epistemologi hukum pidana, teori keputusan vonis, dan batas matematis Beyond Reasonable Doubt (BRD).
Langkah 1: Formulasi Matriks Kerugian Sosial (Loss Matrix).
Keadaan Nyata:
- Terdakwa Sebenarnya Bersalah (Status G).
- Terdakwa Sebenarnya Tidak Bersalah (Status I).
Keputusan Hakim:
- Vonis Konvins... | def beyond_reasonable_doubt():
r_blackstone = 10.0
p_star_blackstone = r_blackstone / (r_blackstone + 1.0) # 10 / 11
r_franklin = 100.0
p_star_franklin = r_franklin / (r_franklin + 1.0) # 100 / 101
assert abs(p_star_blackstone - 10.0 / 11.0) < 1e-9
assert abs(p_star_franklin - 100.0 / ... | Ambang BRD Blackstone (R=10): p* = 90.91% (10/11)
Ambang BRD Franklin (R=100): p* = 99.01% (100/101) | Analisis keputusan Bayes membuktikan Rasio Blackstone R=10 menetapkan ambang pembuktian pidana p* = 90.91% (10/11), sedangkan Rasio Franklin R=100 mensyaratkan p* = 99.01%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Ekspektasi Kerugian Keputusan Pidana:**
- Ekspektasi kerugian vonis bersalah:
$$\mathbb{E}[L \mid \text{Bersalah}] = (1 - p) \times R$$
- Ekspektasi kerugian vonis bebas:
$$\mathbb{E}[L \mid \text{Bebas}] = p \times 1$$
2. **Ambang Batas Vonis Pidana (*Decision Threshold*... | p*_Blackstone = 10/11 approx 90.91%, p*_Franklin = 100/101 approx 99.01% | \boxed{p^*_{\text{Blackstone}} = \frac{10}{11} \approx 90.91\%, \quad p^*_{\text{Franklin}} = \frac{100}{101} \approx 99.01\%} |
LUMINA_EXP_00223 | Antitrust Law & Industrial Regulation | Herfindahl-Hirschman Index (HHI) and Horizontal Merger Evaluation | short | Dalam hukum persaingan usaha dan regulasi anti-monopoli (pedoman Komisi Pengawas Persaingan Usaha / US DOJ), konsentrasi pasar diukur menggunakan Indeks Herfindahl-Hirschman ($HHI$) yang didefinisikan sebagai jumlah kuadrat pangsa pasar persentase seluruh pelaku usaha:
$$HHI = \sum_{i=1}^n s_i^2$$
di mana $s_i$ adalah ... | Kita menganalisis hukum persaingan usaha, regulasi kartel/monopoli, dan kalkulasi Indeks Herfindahl-Hirschman (HHI).
Langkah 1: Perhitungan HHI Pra-Merger.
Pangsa pasar awal: s_1 = 40, s_2 = 30, s_3 = 20, s_4 = 10.
Jumlah total = 100%.
HHI_awal = s_1^2 + s_2^2 + s_3^2 + s_4^2
HHI_awal = 40^2 + 30^2 + 20^2 + 10^2
HHI_a... | def antitrust_hhi():
shares_pre = [40.0, 30.0, 20.0, 10.0]
hhi_pre = sum(s ** 2 for s in shares_pre)
# Merging company 2 and 3: 30 + 20 = 50
shares_post = [40.0, 50.0, 10.0]
hhi_post = sum(s ** 2 for s in shares_post)
delta_hhi = hhi_post - hhi_pre
formula_delta = 2.0 * 30.0 * 20.0... | HHI Pra-Merger: 3000
HHI Pasca-Merger: 4200
Kenaikan Delta HHI: +1200 poin
Status Antimonopoli: Pelanggaran Potensial Serius (HHI > 2500 & Delta > 200) | Analisis antimonopoli membuktikan HHI naik dari 3.000 menjadi 4.200 (Delta HHI = +1.200 poin), melampaui batas aman 200 poin pada pasar berkonsentrasi tinggi. | ### Langkah Penyelesaian
1. **HHI Pra-Merger:**
$$\text{HHI}_{\text{awal}} = 40^2 + 30^2 + 20^2 + 10^2 = 1.600 + 900 + 400 + 100 = 3.000$$
2. **HHI Pasca-Merger ($s_2 + s_3 = 50\%$):**
$$\text{HHI}_{\text{akhir}} = 40^2 + 50^2 + 10^2 = 1.600 + 2.500 + 100 = 4.200$$
Kenaikan indeks:
$$\Delta \text{HHI} = 2... | HHI_awal = 3000, HHI_akhir = 4200, Delta HHI = +1200 | \boxed{\text{HHI}_{\text{awal}} = 3.000, \quad \text{HHI}_{\text{akhir}} = 4.200, \quad \Delta \text{HHI} = +1.200, \quad \text{Status: Melanggar Batas Persaingan Usaha}} |
LUMINA_EXP_00224 | Family Law & Property Partition | Marital Property vs Separate Property Division with Land Appreciation | medium | Dalam hukum keluarga dan pembagian harta bersama (gono-gini) menurut Pasal 35 UU No. 1 Tahun 1974 tentang Perkawinan serta doktrin *separate property* vs *marital property*, harta yang diperoleh sebelum perkawinan merupakan harta bawaan masing-masing, sedangkan kenaikan nilai atau perolehan selama masa perkawinan menja... | Kita menganalisis hukum keluarga, pemisahan harta bawaan versus harta bersama, dan formula akuntansi forensik gono-gini.
Langkah 1: Identifikasi Komponen Hukum Properti.
Nilai pasar saat ini: V_total = Rp 3.400.000.000.
Nilai tanah saat ini: T_kini = Rp 2.000.000.000.
Nilai fisik tanah awal (harta bawaan suami): P_0 =... | def marital_property_division():
v_total = 3400000000.0
t_current = 2000000000.0 # separate property land
# Marital property = Building value
marital_prop = v_total - t_current # 1,400,000,000
# 50-50 division of marital property
share_wife = 0.50 * marital_prop # 700,000,000
share... | Harta Bawaan Suami (Tanah): Rp 2,000,000,000
Harta Bersama Gono-Gini (Bangunan): Rp 1,400,000,000
Hak Akhir Suami: Rp 2,700,000,000
Hak Akhir Istri: Rp 700,000,000 | Analisis hukum keluarga memastikan tanah Rp 2.0 Miliar sebagai harta bawaan suami dan bangunan Rp 1.4 Miliar dibagi dua, menghasilkan hak akhir Suami Rp 2.7 Miliar dan Istri Rp 700 Juta. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Karakterisasi Harta Bawaan (*Separate Property*):**
Tanah dibeli sebelum perkawinan oleh suami, sehingga seluruh nilai apresiasi pasar tanah saat ini merupakan hak mutlak suami:
$$T_{\text{kini}} = \text{Rp } 2.000.000.000$$
2. **Penentuan Harta Bersama (*Marital Property*):**
B... | Hak Suami = Rp 2.700.000.000, Hak Istri = Rp 700.000.000 | \boxed{\text{Hak Suami} = \text{Rp } 2.700.000.000, \quad \text{Hak Istri} = \text{Rp } 700.000.000, \quad \text{Harta Bersama} = \text{Rp } 1.400.000.000} |
LUMINA_EXP_00225 | Tort Law & Law and Economics | Strict Products Liability and Optimal Accident Prevention Cost | short | Dalam analisis ekonomi hukum (*Law and Economics* - Guido Calabresi) mengenai tanggung jawab produk (*Strict Products Liability*), produsen menanggung kewajiban ganti rugi atas kecelakaan konsumen tanpa mempersyaratkan bukti kelalaian (*fault/negligence*).
Misalkan produsen memproduksi $N = 100.000$ unit perangkat medi... | Kita menganalisis analisis ekonomi hukum (Law & Economics) pada doktrin Strict Liability produk cacat.
Langkah 1: Formulasi Biaya Sosial Total Per Unit.
Fungsi biaya pencegahan produsen per unit:
C(x) = 50.000 * x^2 rupiah.
Probabilitas kecelakaan:
P(x) = 0.02 / (1 + x).
Besar kerugian per kecelakaan:
L = 250.000.000 ... | def strict_liability_opt():
# Solve x * (1 + x)^2 = 50
# x^3 + 2x^2 + x - 50 = 0
x = 3.0
for _ in range(10):
fx = x**3 + 2.0*(x**2) + x - 50.0
dfx = 3.0*(x**2) + 4.0*x + 1.0
x = x - fx / dfx
cost_prev = 50000.0 * (x ** 2)
prob_acc = 0.02 / (1.0 + x)
exp_loss ... | Tingkat Kehati-hatian Optimal x*: 3.0493
Biaya Pencegahan Per Unit: Rp 464,920.02
Probabilitas Kecelakaan Residual: 0.4939%
Biaya Sosial Minimum Per Unit: Rp 1,699,692.84 | Analisis Law and Economics membuktikan tingkat pencegahan optimal tercapai pada x* = 3.0487, menghasilkan biaya pencegahan Rp 464.730 per unit dan menekan risiko kecelakaan menjadi 0.494%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Formulasi Biaya Sosial Total Per Unit:**
$$SC(x) = C(x) + P(x)L = 50.000 x^2 + \frac{5.000.000}{1 + x}$$
2. **Kondisi Optimum Orde Pertama:**
$$\frac{dSC}{dx} = 100.000 x - \frac{5.000.000}{(1 + x)^2} = 0 \implies x(1 + x)^2 = 50$$
$$x^3 + 2x^2 + x - 50 = 0 \implies x^* \approx ... | x* approx 3.049, C(x*) = Rp 464.730, P_res = 0.494% | \boxed{x^* \approx 3.049, \quad C(x^*) \approx \text{Rp } 464.730, \quad P_{\text{res}} \approx 0.494\%, \quad SC^* \approx \text{Rp } 1.699.700} |
LUMINA_EXP_00226 | Pure Mathematics & Algebraic Topology | Euler-Poincare Characteristic and Classification of Platonic Solids | short | Berdasarkan Teorema Poliedra Euler-Poincaré, setiap poliedron konveks sederhana pada ruang dimensi tiga memiliki karakteristik Euler $\chi = V - E + F = 2$, di mana $V$ adalah jumlah titik sudut (*vertices*), $E$ adalah jumlah rusuk (*edges*), dan $F$ adalah jumlah sisi (*faces*).
Suatu poliedron dikatakan reguler (Ben... | Kita menganalisis topologi kombinatorial poliedra konveks dan klasifikasi formal lima Benda Padat Platonik.
Langkah 1: Relasi Insidensi Rusuk.
Misalkan setiap sisi memiliki p rusuk:
Setiap rusuk dimiliki bersama oleh tepat 2 sisi, maka:
p * F = 2 * E => F = 2E / p.
Misalkan setiap titik sudut mempertemukan q rusuk:
Se... | def platonic_solids():
solids = []
for p in range(3, 10):
for q in range(3, 10):
inv_e = 1.0 / p + 1.0 / q - 0.5
if inv_e > 1e-9:
E = round(1.0 / inv_e)
V = round(2.0 * E / q)
F = round(2.0 * E / p)
if V - E + F == 2... | Total Benda Padat Platonik: 5
(p=3, q=3) -> V=4, E=6, F=4 (Euler: 2)
(p=3, q=4) -> V=6, E=12, F=8 (Euler: 2)
(p=3, q=5) -> V=12, E=30, F=20 (Euler: 2)
(p=4, q=3) -> V=8, E=12, F=6 (Euler: 2)
(p=5, q=3) -> V=20, E=30, F=12 (Euler: 2) | Analisis topologi Euler membuktikan ketaksamaan 1/p + 1/q > 1/2 memiliki tepat 5 solusi bilangan bulat, mengonfirmasi keberadaan tepat lima Benda Padat Platonik. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Relasi Insidensi Rusuk:**
$$p F = 2E \implies F = \frac{2E}{p}, \qquad q V = 2E \implies V = \frac{2E}{q}$$
2. **Substitusi ke Persamaan Euler-Poincaré:**
$$V - E + F = 2 \implies \frac{2E}{q} - E + \frac{2E}{p} = 2$$
Dibagi dengan $2E$:
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}... | Tepat 5 Benda Padat Platonik: (3,3), (4,3), (3,4), (5,3), (3,5) | \boxed{\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{E} \implies \text{Tepat 5 Solusi: } (3,3), (4,3), (3,4), (5,3), (3,5)} |
LUMINA_EXP_00227 | Pure Mathematics & Linear Algebra | Closed-Form Binet Formula via Transfer Matrix Spectral Diagonalization | medium | Barisan bilangan Fibonacci didefinisikan secara rekursif melalui $F_0 = 0, F_1 = 1$, dan $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ untuk $n \ge 1$.
1. Nyatakan sistem relasi rekurensi tersebut dalam bentuk sistem dinamik matriks transisi $\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}$!
2... | Kita menganalisis aljabar linier spektral, diagonalisasi matriks transfer, dan penurunan Rumus Binet untuk barisan Fibonacci.
Langkah 1: Representasi Matriks Transfer.
Relasi rekurensi:
F_{n+1} = 1 * F_n + 1 * F_{n-1}
F_n = 1 * F_n + 0 * F_{n-1}
Dalam bentuk matriks:
[ F_{n+1} ] = [ 1 1 ] [ F_n ]
[ F_n ] ... | import math
def binet_formula(n):
phi = (1.0 + math.sqrt(5.0)) / 2.0
psi = (1.0 - math.sqrt(5.0)) / 2.0
f_n = (phi**n - psi**n) / math.sqrt(5.0)
return round(f_n)
def test_fibonacci():
fibs = [0, 1]
for i in range(2, 21):
fibs.append(fibs[-1] + fibs[-2])
for n in range(21)... | F_20 Terverifikasi: 6765 (Binet Formula: 6765) | Diagonalisasi matriks transfer transfer 2x2 membuktikan nilai eigen phi dan psi menghasilkan Rumus Binet tertutup F_n = (phi^n - psi^n)/sqrt(5), terverifikasi untuk n=0 hingga 20. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Sistem Dinamik Matriks Transfer:**
$$\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
2. **Spektrum Nilai Eigen dan Vektor Eigen:**
$$\det(M - \lambda I) = \lambda^2 - \lambda - 1... | F_n = (phi^n - psi^n) / sqrt(5) | \boxed{M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}, \quad F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} \quad \left(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \; \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)} |
LUMINA_EXP_00228 | Pure Mathematics & Number Theory | Generalized Chinese Remainder Theorem for Non-Coprime Moduli | medium | Selesaikan sistem kongruensi linear simultan berikut dengan modulus non-koprima sepasang:
$$\begin{cases} x \equiv 5 \pmod{12} \\ x \equiv 17 \pmod{20} \\ x \equiv 2 \pmod{45} \end{cases}$$
1. Ujilah syarat keterlarasan sistem non-koprima $a_i \equiv a_j \pmod{\gcd(m_i, m_j)}$!
2. Tentukan modulus gabungan $M = \text{k... | Kita menganalisis teori bilangan elementer, Teorema Sisa Cina yang Diperumum (Generalized Chinese Remainder Theorem), dan kompatibilitas modular non-koprima.
Langkah 1: Uji Syarat Kompatibilitas Sistem.
Diberikan sistem:
x = a_1 (mod m_1) => x = 5 (mod 12)
x = a_2 (mod m_2) => x = 17 (mod 20)
x = a_3 (mod m_3) => x = ... | def generalized_crt():
# System:
# x = 5 (mod 12)
# x = 17 (mod 20)
# x = 2 (mod 45)
# Check consistency
import math
assert 5 % math.gcd(12, 20) == 17 % math.gcd(12, 20) # mod 4: 1 == 1
assert 5 % math.gcd(12, 45) == 2 % math.gcd(12, 45) # mod 3: 2 == 2
assert 17 % math.gcd(20... | Solusi Terkecil Non-Negatif: x0 = 137
Modulus Gabungan KPK: M = 180
Solusi Umum: x = 137 (mod 180) | Kalkulasi Teorema Sisa Cina non-koprima membuktikan sistem kongruensi konsisten modulo 180 dan menghasilkan solusi unik terkecil x = 137. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Uji Keterlarasan (*Solvability Condition*):**
- $\gcd(12, 20) = 4 \implies 5 \equiv 1 \pmod 4$ dan $17 \equiv 1 \pmod 4$ (Konsisten).
- $\gcd(12, 45) = 3 \implies 5 \equiv 2 \pmod 3$ dan $2 \equiv 2 \pmod 3$ (Konsisten).
- $\gcd(20, 45) = 5 \implies 17 \equiv 2 \pmod 5$ dan $2 \e... | x0 = 137, x = 137 (mod 180) | \boxed{x_0 = 137, \quad x \equiv 137 \pmod{180}} |
LUMINA_EXP_00229 | Pure Mathematics & Complex Analysis | Cauchy Residue Theorem and Jordan Lemma for Improper Fourier Integrals | long | Gunakan Teorema Residu Cauchy pada analisis kompleks untuk mengevaluasi nilai eksak dari integral Fourier riil tak wajar:
$$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + a^2} dx, \quad (a > 0)$$
1. Formulasikan integran kompleks terkait $f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2 + a^2}$ dan tentukan lokasi singularitas kutub terisol... | Kita menganalisis analisis kompleks tingkat lanjut, teori integrasi kontur, dan Teorema Residu Cauchy.
Langkah 1: Pemilihan Fungsi Kompleks dan Singularitas.
Fungsi riil yang akan diintegralkan adalah:
g(x) = cos(x) / (x^2 + a^2).
Karena cos(x) = Re(e^(ix)), kita tinjau integral kompleks dari fungsi:
f(z) = e^(iz) / (... | import math
def verify_cauchy_residue():
# Test for parameter a = 2.0
a = 2.0
analytical_val = (math.pi / a) * math.exp(-a)
# Numerical integration using Simpson rule on [-100, 100]
n_steps = 50000
L = 100.0
dx = (2.0 * L) / n_steps
s = (math.cos(-L) / ((-L)**2 + a**2) + math.cos(L... | Parameter a: 2.0
Nilai Analitis Bentuk Tertutup: 0.21258417
Nilai Integrasi Numerik Simpson: 0.21247955
Galat Absolut: 1.05e-04 | Penerapan Teorema Residu Cauchy membuktikan integral kontur semilingkaran menghasilkan nilai eksak (pi/a)*e^(-a), cocok presisi dengan integrasi numerik kuadratur Simpson. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Singularitas Kompleks:**
Fungsi pembantu:
$$f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{e^{iz}}{(z - ia)(z + ia)}$$
Kutub di setengah bidang atas ($\text{Im}(z) > 0$) adalah kutub sederhana di $z_1 = ia$.
2. **Aplikasi Teorema Residu Cauchy:**
Kontur tertutup $\Gamma_R$ terdiri d... | I = (pi / a) * exp(-a) | \boxed{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + a^2} dx = \frac{\pi}{a} e^{-a}} |
LUMINA_EXP_00230 | Pure Mathematics & Digital Signal Processing | Discrete Fourier Transform and Circular-to-Linear Convolution Equivalence | short | Diberikan dua sinyal diskrit berdurasi hingga: $x = [1, 2, 3]$ dengan panjang $N = 3$ dan $h = [2, 1]$ dengan panjang $M = 2$.
1. Hitung konvolusi linier langsung $y_{\text{lin}} = x * h$ dan tentukan panjang sekuens hasilnya $L = N + M - 1$!
2. Terapkan *zero-padding* pada kedua sinyal hingga panjang $L = 4$, lalu lak... | Kita menganalisis pemrosesan sinyal digital, aljabar Fourier diskrit, dan Teorema Konvolusi DFT.
Langkah 1: Konvolusi Linier Langsung.
Sinyal x = [1, 2, 3] (panjang N = 3).
Sinyal h = [2, 1] (panjang M = 2).
Panjang hasil konvolusi linier:
L = N + M - 1 = 3 + 2 - 1 = 4.
Perhitungan konvolusi linier y[n] = sum_k x[k] h... | import numpy as np
def dft_convolution():
x = np.array([1, 2, 3])
h = np.array([2, 1])
# 1. Direct Linear Convolution
y_lin = np.convolve(x, h)
# 2. DFT with Zero-Padding to L = N + M - 1 = 4
L = len(x) + len(h) - 1
X = np.fft.fft(x, L)
H = np.fft.fft(h, L)
Y = X * H
y... | Konvolusi Linier Langsung: [np.int64(2), np.int64(5), np.int64(8), np.int64(3)]
Konvolusi via FFT/IFFT 4-Titik: [np.int64(2), np.int64(5), np.int64(8), np.int64(3)]
Ekuivalensi Sempurna: True | Teorema Konvolusi membuktikan konvolusi linier [1, 2, 3] * [2, 1] menghasilkan [2, 5, 8, 3], identik sempurna dengan perkalian spektral IDFT 4-titik ber-zero padding. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Konvolusi Linier Langsung ($L = N + M - 1 = 4$):**
- $y[0] = 1 \times 2 = 2$
- $y[1] = 1 \times 1 + 2 \times 2 = 5$
- $y[2] = 2 \times 1 + 3 \times 2 = 8$
- $y[3] = 3 \times 1 = 3$
$$y_{\text{lin}} = [2, \; 5, \; 8, \; 3]$$
2. **DFT 4-Titik dengan Zero-Padding ($L = 4$):**... | y_lin = [2, 5, 8, 3], L = 4 | \boxed{y_{\text{lin}} = [2, \; 5, \; 8, \; 3], \quad L = 4, \quad y = \operatorname{IDFT}_4\{\operatorname{DFT}_4(x) \odot \operatorname{DFT}_4(h)\} = [2, \; 5, \; 8, \; 3]} |
LUMINA_EXP_00231 | Theoretical Physics & Thermodynamics | Thermal Efficiency Comparison of Carnot Cycle and Ideal Otto Cycle | medium | Sebuah siklus termodinamika mesin kalor beroperasi di antara reservoir suhu tinggi $T_H = 1.200\text{ K}$ dan reservoir pendingin suhu rendah $T_C = 300\text{ K}$. Sebagai pembanding, sebuah mesin pembakaran internal empat langkah bekerja berdasarkan Siklus Udara Standar Otto ideal dengan rasio kompresi volume silinder... | Kita menganalisis termodinamika klasik, batas efisiensi mesin kalor Carnot, dan Siklus Otto udara standar.
Langkah 1: Efisiensi Maksimum Teorema Carnot.
Berdasarkan Hukum Kedua Termodinamika, tidak ada mesin kalor yang bekerja di antara dua reservoir suhu tertentu yang dapat memiliki efisiensi melebihi mesin Carnot re... | import math
def carnot_vs_otto():
t_h = 1200.0
t_c = 300.0
eta_carnot = 1.0 - t_c / t_h # 0.75
r = 8.5
gamma = 1.40
eta_otto = 1.0 - (1.0 / (r ** (gamma - 1.0)))
ratio = eta_otto / eta_carnot
assert abs(eta_carnot - 0.75) < 1e-9
assert abs(eta_otto - (1.0 - 1.0 / (8.5 ** 0... | Efisiensi Maksimum Carnot: 75.00%
Efisiensi Siklus Otto (r=8.5): 57.52%
Rasio Relatif Otto / Carnot: 76.69% | Kalkulasi termodinamika membuktikan efisiensi Carnot 75.00% dan efisiensi Otto 57.52% (rasio 76.69%), selaras dengan batas Hukum Kedua Termodinamika. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Efisiensi Siklus Carnot Teoretis:**
$$\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300\text{ K}}{1.200\text{ K}} = 1 - 0.25 = 0.7500 \; (75.00\%)$$
2. **Efisiensi Siklus Otto Ideal:**
$$\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}} = 1 - \frac{1}{8.5^{1.4 - 1}} = 1 - ... | eta_Carnot = 75.00%, eta_Otto = 57.52%, Rasio = 76.69% | \boxed{\eta_{\text{Carnot}} = 75.00\%, \quad \eta_{\text{Otto}} \approx 57.52\%, \quad \frac{\eta_{\text{Otto}}}{\eta_{\text{Carnot}}} \approx 76.69\%} |
LUMINA_EXP_00232 | Astrophysics & Special Relativity | Relativistic Doppler Shift and Cosmological Recessional Velocity | short | Dalam astrofisika observasional, spektrum garis emisi hidrogen Lyman-alpha (panjang gelombang diam $\lambda_0 = 121.57\text{ nm}$) dari sebuah galaksi jauh teramati mengalami pergeseran merah (*redshift*) spektroskopi menjadi $\lambda_{\text{obs}} = 364.71\text{ nm}$.
1. Hitung nilai parameter pergeseran merah kosmolog... | Kita menganalisis relativitas khusus dan kosmologi observasional melalui Efek Doppler Relativistik dan pergeseran merah spektral.
Langkah 1: Perhitungan Parameter Redshift z.
Panjang gelombang diam: lambda_0 = 121.57 nm.
Panjang gelombang teramati: lambda_obs = 364.71 nm.
Faktor pelebaran spektrum:
1 + z = lambda_obs ... | def relativistic_redshift():
lambda_0 = 121.57
lambda_obs = 364.71
c = 299792.0 # km/s
ratio = lambda_obs / lambda_0 # 3.0
z = ratio - 1.0 # 2.0
k = ratio ** 2 # 9.0
beta = (k - 1.0) / (k + 1.0) # 0.8
v = beta * c # 239,833.6 km/s
assert a... | Redshift z: 2.00
Kecepatan Relatif beta (v/c): 0.80
Kecepatan Resesi Galaksi: 239,833.6 km/s | Kalkulasi relativitas khusus membuktikan rasio panjang gelombang 3.0 menghasilkan redshift z = 2.0 dan kecepatan resesi beta = 0.80 c (239.833.6 km/s). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Parameter Redshift Spektroskopi ($z$):**
$$1 + z = \frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_0} = \frac{364.71\text{ nm}}{121.57\text{ nm}} = 3.0 \implies z = 3.0 - 1 = 2.0$$
2. **Kecepatan Resesi Relativistik ($\beta = v/c$):**
$$1 + z = \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} \implies (1 + ... | z = 2.0, beta = 0.80, v = 239833.6 km/s | \boxed{z = 2.0, \quad \beta = 0.80, \quad v = 239.833.6\text{ km/s}} |
LUMINA_EXP_00233 | Quantum Mechanics & Statistical Physics | Planck Blackbody Radiation and Derivation of Wien Displacement Constant | medium | Hukum Distribusi Radiasi Spektral Benda Hitam Planck dinyatakan sebagai fungsi panjang gelombang $\lambda$ dan suhu absolut $T$:
$$u(\lambda, T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5 \left(e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1\right)}$$
di mana $h$ adalah konstanta Planck, $c$ adalah kecepatan cahaya, dan $k_B$ adalah konstanta Boltz... | Kita menganalisis mekanika kuantum statistik, radiasi benda hitam Planck, dan penurunan Hukum Pergeseran Wien.
Langkah 1: Diferensiasi Spektral Planck terhadap Lambda.
Fungsi kerapatan spektral Planck:
u(lambda) = (8 * pi * h * c) * lambda^(-5) * [ e^(hc / (lambda * k_B * T)) - 1 ]^(-1).
Definisikan konstanta A = 8 * ... | import math
def wien_displacement_derivation():
# Solve x * exp(x) / (exp(x) - 1) = 5
x = 5.0
for _ in range(10):
fx = x / (1.0 - math.exp(-x)) - 5.0
# df/dx
ex = math.exp(-x)
dfx = ( (1.0 - ex) - x * ex ) / ((1.0 - ex) ** 2)
x = x - fx / dfx
x_star = x
... | Akar Transendental x*: 4.965114
Konstanta Pergeseran Wien b: 2.897772e-03 m*K (2.8978 mm*K) | Penurunan kalkulus spektral Planck membuktikan kondisi puncak menghasilkan akar transendental x* = 4.965114 dan konstanta Wien b = 2.89777 x 10^-3 m*K. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Diferensiasi Kerapatan Spektral Planck:**
$$u(\lambda, T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5 \left(e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1\right)}$$
Dengan substitusi $x = \frac{hc}{\lambda k_B T} \implies \frac{dx}{d\lambda} = -\frac{x}{\lambda}$:
$$\frac{\partial u}{\partial \lambda} = \frac{... | x* = 4.965114, b = 2.89777e-3 m*K | \boxed{x^* \approx 4.965114, \quad b = \frac{hc}{x^* k_B} \approx 2.89777 \times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}} |
LUMINA_EXP_00234 | Astrophysics & General Relativity | Gravitational Deflection of Light in Schwarzschild Spacetime | short | Berdasarkan Teori Relativitas Umum Albert Einstein (1915), lintasan foton cahaya yang melintasi medan gravitasi di sekitar massa sferis non-rotasional bermassa $M$ terdefleksi dengan sudut total:
$$\Delta\phi = \frac{4 G M}{c^2 R} = \frac{2 r_s}{R}$$
di mana $r_s = \frac{2GM}{c^2}$ adalah radius Schwarzschild dan $R$ a... | Kita menganalisis relativitas umum Einstein, geometri metrik Schwarzschild, dan sudut pembelokan cahaya gravitasi.
Langkah 1: Perhitungan Radius Schwarzschild Matahari.
r_s = 2 * G * M / c^2
Substitusi konstanta:
2 * G * M = 2 * (6.6743 * 10^(-11)) * (1.989 * 10^30) = 2.6550365 * 10^20 m^3/s^2.
c^2 = (2.99792 * 10^8)^... | import math
def gravitational_lensing():
G = 6.6743e-11
M_sun = 1.989e30
c = 2.99792458e8
R_sun = 6.9634e8
r_s = (2.0 * G * M_sun) / (c ** 2) # ~2954 m
delta_phi_rad = (4.0 * G * M_sun) / ((c ** 2) * R_sun)
rad_to_arcsec = (180.0 * 3600.0) / math.pi
delta_phi_arcsec = delta_ph... | Radius Schwarzschild Matahari: 2954.1 m (2.954 km)
Defleksi Cahaya Einstein (Radian): 8.484725e-06 rad
Defleksi Cahaya Einstein (Arcsec): 1.750 arcsec (1.75 detik busur) | Verifikasi Relativitas Umum mengonfirmasi radius Schwarzschild matahari 2.954 km dan sudut pembelokan foton grazing tepi matahari 1.75 detik busur (2x lipat prediksi Newtonian). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Radius Schwarzschild Matahari ($r_s$):**
$$r_s = \frac{2 G M_\odot}{c^2} = \frac{2 \times (6.6743 \times 10^{-11}) \times (1.989 \times 10^{30})}{(2.99792 \times 10^8)^2} \approx 2.954\text{ m} \; (2.954\text{ km})$$
2. **Sudut Pembelokan Relativitas Umum Einstein:**
$$\Delta\phi =... | r_s = 2.954 km, Delta phi = 1.75 arcsec | \boxed{r_s \approx 2.954\text{ km}, \quad \Delta\phi \approx 8.485 \times 10^{-6}\text{ rad} \; (1.75'' \text{ detik busur})} |
LUMINA_EXP_00235 | Theoretical Physics & Classical Mechanics | Critically Damped Harmonic Oscillator and Quality Factor Dynamics | long | Sebuah osilator harmonik teredam satu dimensi memenuhi persamaan diferensial linier homogen orde kedua:
$$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x(t) = 0$$
di mana $\omega_0 = 10\text{ rad/s}$ adalah frekuensi sudut alami tak teredam dan $\gamma \ge 0$ adalah koefisien redaman per satuan massa.
1. Tent... | Kita menganalisis mekanika analitis gelombang dan osilasi teredam, persamaan diferensial linier orde 2, dan rezim redaman kritis.
Langkah 1: Persamaan Karakteristik dan Klasifikasi Rezim.
Persamaan gerak:
x''(t) + 2 * gamma * x'(t) + omega_0^2 * x(t) = 0.
Asumsi solusi eksponensial x(t) = e^(r t):
r^2 + 2 * gamma * r ... | import math
def critically_damped():
omega_0 = 10.0
gamma_crit = omega_0
q_crit = omega_0 / (2.0 * gamma_crit) # 0.5
# Solve (1 + u) * exp(-u) = 0.01
u = 6.5
for _ in range(10):
gu = (1.0 + u) * math.exp(-u) - 0.01
dgu = -u * math.exp(-u)
u = u - gu / dgu
... | Koefisien Redaman Kritis: gamma = 10.0 s^-1
Faktor Kualitas Q: 0.50
Variabel Tak Berdimensi u*: 6.63835
Waktu Peluruhan 99% (t*): 0.66384 detik
Simpangan Akhir: 0.005000 m (Tepat 1% dari x0 = 0.5 m) | Analisis osilasi membuktikan redaman kritis tercapai pada gamma = 10 s^-1 dengan Q = 0.5, serta peluruhan simpangan ke 1% membutuhkan waktu t* = 0.6638 detik. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Persamaan Karakteristik dan Redaman Kritis:**
$$r^2 + 2\gamma r + \omega_0^2 = 0 \implies r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$$
Syarat redaman kritis (diskriminan nol):
$$\gamma_{\text{crit}} = \omega_0 = 10\text{ s}^{-1}$$
Faktor kualitas sistem:
$$Q = \frac{\omeg... | gamma_crit = 10 s^-1, Q = 0.50, t* = 0.6638 detik | \boxed{\gamma_{\text{crit}} = 10\text{ s}^{-1}, \quad Q = 0.50, \quad x(t) = 0.5(1 + 10t)e^{-10t}\text{ m}, \quad t^* \approx 0.6638\text{ detik}} |
LUMINA_EXP_00236 | Applied Cryptography & Number Theory | Elliptic Curve Diffie-Hellman Key Exchange on Short Weierstrass Curves | medium | Diberikan kurva eliptik bentuk Weierstrass pendek di atas medan hingga prima $\mathbb{F}_{23}$:
$$E: y^2 \equiv x^3 + x + 1 \pmod{23}$$
dengan titik generator basis $G = (0, 1)$.
1. Buktikan bahwa titik $G = (0, 1)$ terletak pada kurva eliptik $E(\mathbb{F}_{23})$!
2. Hitung penggandaan titik $2G = G + G$ menggunakan f... | Kita menganalisis kriptografi kurva eliptik (ECC), aljabar grup medan berhingga, dan protokol Diffie-Hellman (ECDH).
Langkah 1: Verifikasi Titik Basis G = (0, 1) pada Kurva.
Kurva: y^2 = x^3 + a x + b (mod p) dengan a = 1, b = 1, p = 23.
Substitusi (x, y) = (0, 1):
Ruas kiri: 1^2 = 1.
Ruas kanan: 0^3 + 1(0) + 1 = 1 mo... | def ec_add(p1, p2, a, p):
if p1 is None: return p2
if p2 is None: return p1
x1, y1 = p1
x2, y2 = p2
if x1 == x2 and y1 != y2:
return None
if x1 == x2:
num = (3 * x1**2 + a) % p
den = (2 * y1) % p
else:
num = (y2 - y1) % p
den = (x2 - x1) % p
inv_de... | Kunci Publik Alice Q_A: (6, 19)
Kunci Publik Bob Q_B: (3, 13)
Rahasia Bersama Terverifikasi S: (7, 11) | Kalkulasi aljabar kurva eliptik membuktikan kunci publik Alice QA = (6, 19) dan Bob QB = (3, 13) menghasilkan rahasia bersama unik S = (7, 11) modulo 23. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Verifikasi Titik Basis $G = (0, 1)$:**
$$y^2 = 1^2 = 1, \quad x^3 + x + 1 = 0^3 + 0 + 1 = 1 \pmod{23}$$
Titik $G$ valid berada pada kurva.
2. **Kunci Publik Alice ($Q_A = 2G$):**
$$\lambda = \frac{3(0)^2 + 1}{2(1)} = \frac{1}{2} \equiv 12 \pmod{23}$$
$$x_3 = 12^2 - 0 - 0 = 14... | QA = (6, 19), QB = (3, 13), S = (7, 11) | \boxed{Q_A = (6, 19), \quad Q_B = (3, 13), \quad S = (7, 11)} |
LUMINA_EXP_00237 | Applied Cryptography & Hash Functions | Keccak Sponge Construction Parameters and Absorbing Phase Dynamics in SHA-3 | short | Dalam standar fungsi hash kriptografis SHA-3 (FIPS 202), Konstruksi Sponge Keccak beroperasi di atas keadaan internal (*internal state*) berukuran $b = 1.600\text{ bit}$ yang terpartisi menjadi laju bit (*bitrate*, $r$) dan kapasitas (*capacity*, $c$):
$$b = r + c = 1.600\text{ bit}$$
Kapasitas $c$ menentukan tingkat k... | Kita menganalisis kriptografi simetris, fungsi hash FIPS 202 SHA-3, dan arsitektur Keccak Sponge Construction.
Langkah 1: Parameter Kapasitas dan Bitrate SHA3-256.
Ukuran state Keccak-f[1600]: b = 1600 bit.
Tingkat keamanan SHA3-256:
- Resistensi kolisi (Collision Resistance): 2^(c/2) = 2^128 operasi.
Maka kapasitas... | import math
def sha3_256_sponge():
b_bits = 1600
digest_len = 256
c_bits = 2 * digest_len # 512
r_bits = b_bits - c_bits # 1088
r_bytes = r_bits // 8 # 136
c_bytes = c_bits // 8 # 64
ratio = r_bits / b_bits # 0.68
# Message 2000 bytes
msg_len = 2000
# pad10... | Bitrate r: 1088 bit (136 byte)
Capacity c: 512 bit
Throughput Ratio r/b: 68.0%
Blok Penyerapan Pesan 2000 Byte: 15 putaran | Analisis Keccak-f[1600] membuktikan parameter SHA3-256 adalah r = 1088 bit (136 byte) dan c = 512 bit (throughput 68%), memerlukan 15 blok penyerapan untuk 2000 byte. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Parameter Bitrate dan Kapasitas SHA3-256 ($b = 1.600\text{ bit}$):**
- Kapasitas: $c = 2 \times 256 = 512\text{ bit} \; (64\text{ byte})$
- Bitrate: $r = b - c = 1.600 - 512 = 1.088\text{ bit} \; (136\text{ byte})$
2. **Rasio Efisiensi Penyerapan Permutasi:**
$$\frac{r}{b} = \fr... | r = 1088 bit (136 byte), c = 512 bit, 15 putaran | \boxed{r = 1.088\text{ bit } (136\text{ byte}), \quad c = 512\text{ bit}, \quad \frac{r}{b} = 68\%, \quad 15\text{ putaran penyerapan}} |
LUMINA_EXP_00238 | Distributed Systems & Formal Verification | Paxos Consensus Protocol and Formal Induction of Safety Invariant | long | Dalam sistem terdistribusi toleran kesalahan (fault-tolerant distributed systems), Algoritma Konsensus Paxos Leslie Lamport (1998) menjamin invariansi keamanan (*Safety Invariant*): tidak ada dua nilai berbeda yang dapat diputuskan (*decided*) oleh kluster node.
Misalkan kluster terdiri dari $N = 5$ node server yang be... | Kita menganalisis protokol konsensus terdistribusi, formal verification model Lamport Paxos, dan pembuktian invarian keamanan konsensus.
Langkah 1: Karakterisasi Kuorum Mayoritas dan Perpotongan Kuorum.
Jumlah node: N = 5.
Ukuran kuorum mayoritas minimum:
Q = floor(N / 2) + 1 = floor(5 / 2) + 1 = 2 + 1 = 3 node.
Teore... | def paxos_quorum_intersection():
nodes = {1, 2, 3, 4, 5}
n = len(nodes)
q_size = (n // 2) + 1 # 3
from itertools import combinations
quorums = list(combinations(nodes, q_size))
# Verify pairwise intersection
min_intersect = 100
for q1 in quorums:
for q2 in quorums:
... | Total Kemungkinan Kuorum Mayoritas: 10
Ukuran Minimum Kuorum: 3 dari 5 node
Kardinalitas Perpotongan Minimum (|Q1 intersect Q2|): 1 node
Invarian Keamanan Konsensus Terbukti Valid. | Verifikasi formal kombinatorial membuktikan kuorum mayoritas 3 dari 5 node selalu berpotongan minimal 1 node, memvalidasi induksi Invarian P2c Paxos. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Ukuran Kuorum dan Teorema Perpotongan Kuorum:**
$$Q = \left\lfloor \frac{N}{2} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor \frac{5}{2} \right\rfloor + 1 = 3\text{ node}$$
Berdasarkan prinsip inklusi-eksklusi untuk setiap dua kuorum $Q_1, Q_2$:
$$|Q_1 \cap Q_2| = |Q_1| + |Q_2| - |Q_1 \cup Q_... | Q = 3 node, |Q1 cap Q2| >= 1, Invarian P2c valid | \boxed{Q = 3\text{ node}, \quad |Q_1 \cap Q_2| \ge 1, \quad \text{Invarian Keamanan Terbukti: } v' = v \; \forall n' > n} |
LUMINA_EXP_00239 | Distributed Systems & Probabilistic Data Structures | Bloom Filter Dimensioning and False Positive Optimization | short | Sebuah basis data terdistribusi skala besar menggunakan struktur data probabilistik Bloom Filter untuk memfilter pencarian kunci pada disk storage. Diberikan beban elemen tersimpan $n = 1.000.000$ entri dan target probabilitas positif palsu (*false positive probability*) sebesar $p = 0.01$ ($1.0\%$).
1. Formulasikan re... | Kita menganalisis struktur data probabilistik sistem terdistribusi, optimasi memori, dan analisis Bloom Filter.
Langkah 1: Hubungan Matematika False Positive Rate.
Misalkan array berukuran m bit diinisialisasi 0, dengan k fungsi hash independen.
Setelah n elemen dimasukkan, probabilitas suatu bit tertentu masih bernil... | import math
def bloom_filter_params():
n = 1000000
p = 0.01
# Optimal m/n = - ln(p) / (ln(2)^2)
m_over_n = -math.log(p) / (math.log(2.0) ** 2) # ~9.585
m_bits = math.ceil(n * m_over_n)
m_bytes = m_bits / 8.0
m_mb = m_bytes / (1024.0 * 1024.0)
# Optimal k = (m / n) * ln(2)
... | Ukuran Bit Array m: 9,585,059 bit (1.14 MiB)
Jumlah Hash Optimal k*: 7
Probabilitas False Positive Riil: 1.004% | Optimasi Bloom Filter untuk n = 1 juta dan p = 1% membuktikan ukuran array optimal m = 9.585.060 bit (1.14 MiB) dengan k = 7 fungsi hash. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Formulasi Teoretis False Positive:**
$$p \approx \left(1 - e^{-\frac{kn}{m}}\right)^k$$
Kondisi optimal tercapai pada $e^{-\frac{kn}{m}} = \frac{1}{2}$:
$$k^* = \frac{m}{n} \ln(2)$$
2. **Rasio Bit per Elemen dan Ukuran Total ($p = 0.01$):**
$$\frac{m}{n} = -\frac{\ln(p)}{(\ln... | m = 9585060 bit (1.14 MiB), k* = 7 | \boxed{m \approx 9.585.060\text{ bit } (1.14\text{ MiB}), \quad k^* = 7\text{ fungsi hash}, \quad p_{\text{aktual}} \approx 0.82\%} |
LUMINA_EXP_00240 | Applied Cryptography & Secret Sharing | Shamir (k, n) Threshold Scheme and Lagrange Polynomial Interpolation | medium | Dalam skema pembagian rahasia Shamir's $(k, n)$-Threshold Cryptosystem Adi Shamir (1979) di atas lapangan berhingga prima $\mathbb{F}_{31}$:
Sebuah kunci enkripsi rahasia $S \in \mathbb{F}_{31}$ disembunyikan menggunakan polinomial acak berderajat $k - 1 = 2$ ($k = 3$ pihak diperlukan untuk rekonstruksi):
$$f(x) = S + ... | Kita menganalisis kriptografi ambang batas (Threshold Cryptography), pembagian rahasia Shamir, dan interpolasi polinomial Lagrange modulo prima.
Langkah 1: Parameter Skema.
Medan: F_31 (p = 31).
Derajat polinomial d = k - 1 = 2 (k = 3 threshold).
Titik-titik bagian rahasia (shares):
P_1 = (1, 15)
P_2 = (2, 23)
P_3 = (... | def shamir_reconstruct():
p = 31
shares = [(1, 15), (2, 23), (4, 18)]
# Lagrange interpolation at x = 0
s_val = 0
l_coeffs = []
for j, (xj, yj) in enumerate(shares):
num = 1
den = 1
for m, (xm, _) in enumerate(shares):
if m != j:
num = (nu... | Koefisien Lagrange ell_j(0): [13, 29, 21]
Nilai Rahasia Rekonstruksi S: 0
Polinomial Lengkap: f(x) = 0 + 3x + 12x^2 (mod 31) | Interpolasi Lagrange F_31 membuktikan koefisien bobot [13, 29, 21] merekonstruksi rahasia S = 0 dan polinomial f(x) = 3x + 12x^2 mod 31 secara eksak. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Koefisien Basis Lagrange di $x = 0$ (Modulo 31):**
- $\ell_1(0) = \frac{-2}{1 - 2} \times \frac{-4}{1 - 4} = 2 \times \frac{4}{3} \equiv 8 \times 21 = 168 \equiv 13 \pmod{31}$
- $\ell_2(0) = \frac{-1}{2 - 1} \times \frac{-4}{2 - 4} = -1 \times 2 = -2 \equiv 29 \pmod{31}$
- $\ell_... | ell(0) = [13, 29, 21], S = 0, f(x) = 3x + 12x^2 mod 31 | \boxed{\ell(0) = [13, \; 29, \; 21], \quad S = 0, \quad f(x) \equiv 3x + 12x^2 \pmod{31}} |
LUMINA_EXP_00241 | Biophysical Chemistry & Enzyme Kinetics | Michaelis-Menten Kinetics and Lineweaver-Burk Catalytic Parameter Estimation | medium | Dalam kinetika enzim biokimia kuantitatif, laju reaksi enzimatik $v$ mematuhi Model Michaelis-Menten Leonor Michaelis & Maud Menten (1913):
$$v = \frac{V_{\max} [S]}{K_m + [S]}$$
di mana $[S]$ adalah konsentrasi substrat, $V_{\max}$ adalah laju reaksi maksimum, dan $K_m$ adalah konstanta Michaelis.
Data eksperimen labo... | Kita menganalisis kinetika kimia biokimia, model enzim Michaelis-Menten, dan persamaan linier Lineweaver-Burk.
Langkah 1: Formulasi Lineweaver-Burk.
Persamaan timbal-balik:
1/v = (K_m + [S]) / (V_max [S]) = (K_m / V_max) * (1 / [S]) + (1 / V_max).
Misalkan Y = 1/v dan X = 1/[S]:
Y = m X + c dengan gradien m = K_m / V_... | def enzyme_kinetics():
s1, v1 = 2.0, 40.0 # mM, uM/s
s2, v2 = 8.0, 80.0
# Lineweaver-Burk: 1/v = (Km/Vmax)*(1/S) + (1/Vmax)
x1, y1 = 1.0 / s1, 1.0 / v1
x2, y2 = 1.0 / s2, 1.0 / v2
m = (y1 - y2) / (x1 - x2)
c = y1 - m * x1
v_max = 1.0 / c # uM/s
k_m = m * v_max # mM
... | Laju Maksimum V_max: 120.0 uM/s
Konstanta Michaelis K_m: 4.0 mM
Turnover Number k_cat: 1,200 s^-1
Efisiensi Katalitik k_cat/K_m: 3e+05 M^-1 s^-1 | Plot Lineweaver-Burk mengonfirmasi parameter kinetika Vmax = 120 uM/s, Km = 4.0 mM, kcat = 1200 s^-1, dan efisiensi katalitik 3.0 x 10^5 M^-1 s^-1. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Transformasi Lineweaver-Burk:**
$$\frac{1}{v} = \frac{K_m}{V_{\max}} \frac{1}{[S]} + \frac{1}{V_{\max}}$$
- Titik 1: $X_1 = 0.50\text{ mM}^{-1}, \quad Y_1 = 0.025\text{ (}\mu\text{M/s)}^{-1}$
- Titik 2: $X_2 = 0.125\text{ mM}^{-1}, \quad Y_2 = 0.0125\text{ (}\mu\text{M/s)}^{-1}$
... | Vmax = 120.0 uM/s, Km = 4.0 mM, kcat = 1200 s^-1, kcat/Km = 3.0e5 M^-1 s^-1 | \boxed{V_{\max} = 120.0\text{ }\mu\text{M/s}, \quad K_m = 4.0\text{ mM}, \quad k_{\text{cat}} = 1.200\text{ s}^{-1}, \quad \frac{k_{\text{cat}}}{K_m} = 3.0 \times 10^5\text{ M}^{-1}\text{s}^{-1}} |
LUMINA_EXP_00242 | Mathematical Biology & Population Dynamics | Beverton-Holt Discrete Logistic Growth and Closed-Form Trajectory | short | Dalam biologi matematika dinamika populasi, Model Rekursi Beverton-Holt Raymond Beverton & Sidney Holt (1957) memodelkan pertumbuhan populasi ikan dengan kapasitas daya tampung lingkungan terbatas:
$$N_{t+1} = \frac{R_0 N_t}{1 + \left(\frac{R_0 - 1}{K}\right) N_t}$$
di mana $R_0 = 2.5$ adalah laju perbanyakan dasar int... | Kita menganalisis biologi matematika, sistem dinamik diskrit non-linier, dan model populasi Beverton-Holt.
Langkah 1: Menentukan Titik Kesetimbangan (Fixed Points).
Kondisi titik tetap N^*:
N^* = [ R_0 * N^* ] / [ 1 + ((R_0 - 1) / K) * N^* ].
Kasus 1: N^* = 0 (Titik kepunahan).
Kasus 2: N^* != 0:
Bagi kedua ruas denga... | def beverton_holt():
r0 = 2.5
k = 10000.0
n0 = 1000.0
# Direct recurrence
n1 = (r0 * n0) / (1.0 + ((r0 - 1.0) / k) * n0)
n2 = (r0 * n1) / (1.0 + ((r0 - 1.0) / k) * n1)
# Closed-form formula
def closed_form(t):
return (k * n0 * (r0 ** t)) / (k + n0 * ((r0 ** t) - 1.0))
... | Populasi Tahun 1 (N1): 2173.91 ekor
Populasi Tahun 2 (N2): 4098.36 ekor
Populasi Tahun 10 (N10): 9990.57 ekor (Mendekati K = 10,000) | Solusi analitis Beverton-Holt membuktikan pertumbuhan populasi monotonik dari N0 = 1000 ke N1 = 2173.91 dan N2 = 4098.36, konvergen mulus menuju kapasitas daya dukung K = 10.000. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Titik Kesetimbangan (*Fixed Points*):**
$$N^* = \frac{R_0 N^*}{1 + \left(\frac{R_0 - 1}{K}\right) N^*} \implies N^* = 0 \quad \text{dan} \quad N^* = K = 10.000$$
2. **Iterasi Nilai Populasi Tahun 1 dan 2:**
- Tahun 1:
$$N_1 = \frac{2.5 \times 1.000}{1 + \left(\frac{1.5}{10.000... | N* = 10000, N1 = 2173.91, N2 = 4098.36 | \boxed{N^* = 10.000, \quad N_1 \approx 2.174\text{ ekor}, \quad N_2 \approx 4.098\text{ ekor}, \quad N_t = \frac{K N_0 R_0^t}{K + N_0 (R_0^t - 1)}} |
LUMINA_EXP_00243 | Analytical Chemistry & Physical Biochemistry | Henderson-Hasselbalch Equilibrium and Van Slyke Buffer Capacity | short | Larutan penyangga (*buffer*) asam asetat dibuat dengan mencampurkan asam asetat ($CH_3COOH$, konsentrasi $[HA] = 0.20\text{ M}$) dan natrium asetat ($CH_3COONa$, konsentrasi $[A^-] = 0.10\text{ M}$). Diketahui konstanta disosiasi asam asetat adalah $K_a = 1.80 \times 10^{-5}$ ($\text{p}K_a = -\log_{10}(1.80 \times 10^{... | Kita menganalisis kesetimbangan asam-basa, persamaan Henderson-Hasselbalch, dan kapasitas dapar Van Slyke.
Langkah 1: Menghitung pH Menggunakan Henderson-Hasselbalch.
Persamaan kesetimbangan:
pH = pK_a + log10([A^-] / [HA]).
Diberikan:
pK_a = - log10(1.80 * 10^(-5)) = 5 - log10(1.8) approx 5 - 0.25527 = 4.74473.
[A^-]... | import math
def buffer_capacity():
ka = 1.80e-5
pka = -math.log10(ka) # ~4.74473
ha = 0.20
a_minus = 0.10
c_tot = ha + a_minus
# 1. Henderson-Hasselbalch
ph = pka + math.log10(a_minus / ha)
# 2. Van Slyke Beta
h_conc = 10.0 ** (-ph)
fraction = (ka * h_conc) / ((ka + h_... | Nilai pH Larutan Dapar: 4.444
Kapasitas Dapar beta: 0.1535 M/pH
pH Kapasitas Maksimum (pKa): 4.745
Kapasitas Dapar Maksimum beta_max: 0.1727 M/pH | Kalkulasi kesetimbangan asam-basa membuktikan pH dapar adalah 4.444 dengan kapasitas dapar Van Slyke beta = 0.1535 M/pH, mencapai puncak maksimum beta_max = 0.1727 M/pH pada pH = 4.745. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Perhitungan $\text{pH}$ (Henderson-Hasselbalch):**
$$\text{p}K_a = -\log_{10}(1.80 \times 10^{-5}) \approx 4.7447$$
$$\text{pH} = \text{p}K_a + \log_{10}\left( \frac{[A^-]}{[HA]} \right) = 4.7447 + \log_{10}\left( \frac{0.10}{0.20} \right) = 4.7447 - 0.3010 = 4.4437$$
2. **Kapasita... | pH = 4.44, beta = 0.1535 M/pH, pH_max = 4.745 | \boxed{\text{pH} \approx 4.44, \quad \beta \approx 0.1535\text{ M/pH}, \quad \text{pH}_{\max} = 4.745, \quad \beta_{\max} \approx 0.1727\text{ M/pH}} |
LUMINA_EXP_00244 | Biophysics & Quantitative Neurobiology | Goldman-Hodgkin-Katz Voltage Equation and Resting Membrane Potential | medium | Dalam elektrofisiologi sel saraf, potensial membran istirahat (*resting membrane potential*, $V_m$) ditentukan oleh Persamaan Tegangan Goldman-Hodgkin-Katz (GHK) David Goldman, Alan Hodgkin, & Bernard Katz (1949):
$$V_m = \frac{RT}{F} \ln \left( \frac{P_{\text{K}} [K^+]_o + P_{\text{Na}} [Na^+]_o + P_{\text{Cl}} [Cl^-]... | Kita menganalisis biofisika saraf, elektrofisiologi kuantitatif membran sel, dan persamaan tegangan GHK.
Langkah 1: Perhitungan Potensial Nernst Masing-Masing Ion.
Rumus Nernst pada 37 C (T = 310.15 K):
E_ion = (RT / z F) * ln([Ion]_o / [Ion]_i) = (61.5 mV / z) * log10([Ion]_o / [Ion]_i).
- Untuk ion Kalium (K+, z = ... | import math
def ghk_resting_potential():
factor_log10 = 61.5 # mV at 37 C
# Concentrations in mM
k_o, k_i = 4.0, 140.0
na_o, na_i = 145.0, 10.0
cl_o, cl_i = 110.0, 10.0
# Nernst potentials
e_k = factor_log10 * math.log10(k_o / k_i)
e_na = factor_log10 * math.log10(na_o / na_i)... | Potensial Nernst Kalium E_K: -95.0 mV
Potensial Nernst Natrium E_Na: 71.4 mV
Potensial Membran Istirahat GHK V_m: -69.08 mV | Kalkulasi GHK membuktikan potensial membran istirahat neuron bernilai -69.08 mV, didominasi oleh konduktansi kalium (E_K = -94.96 mV vs E_Na = +71.42 mV). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Potensial Kesetimbangan Nernst ($37^\circ\text{C}$):**
$$E_{\text{K}} = 61.5 \log_{10}\left( \frac{4.0}{140.0} \right) \approx -94.96\text{ mV}$$
$$E_{\text{Na}} = 61.5 \log_{10}\left( \frac{145.0}{10.0} \right) \approx +71.42\text{ mV}$$
2. **Perhitungan Potensial Membran GHK:**
... | V_m = -69.08 mV, E_K = -94.96 mV, E_Na = +71.42 mV | \boxed{V_m \approx -69.08\text{ mV}, \quad E_{\text{K}} \approx -94.96\text{ mV}, \quad E_{\text{Na}} \approx +71.42\text{ mV}} |
LUMINA_EXP_00245 | Mathematical Epidemiology & Nonlinear Dynamics | Kermack-McKendrick SIR Epidemic Model and Final Size Transcendental Equation | long | Dalam epidemiologi matematika kuantitatif, Model Transmisi SIR William Kermack & Anderson McKendrick (1927) memodelkan penyebaran penyakit menular pada populasi konstan $N = S(t) + I(t) + R(t) = 100.000$ individu:
$$\frac{dS}{dt} = -\frac{\beta}{N} S I, \quad \frac{dI}{dt} = \frac{\beta}{N} S I - \gamma I, \quad \frac{... | Kita menganalisis epidemiologi matematika, sistem persamaan diferensial non-linier SIR, dan persamaan transendental final size.
Langkah 1: Angka Reproduksi Dasar (R_0) dan Herd Immunity Threshold.
Parameter:
beta = 0.50 hari^(-1).
gamma = 0.20 hari^(-1).
Durasi rata-rata infeksi: T_inf = 1 / gamma = 1 / 0.20 = 5 hari.... | def sir_epidemic_dynamics():
import math
N = 100000.0
beta = 0.50
gamma = 0.20
R0 = beta / gamma # 2.5
hit = 1.0 - 1.0 / R0 # 0.60
i0 = 100.0
s0 = N - i0 # 99900
# Peak infection
s_peak = N / R0 # 40000
i_max = (i0 + s0) - s_peak + (N / R0) * math.log(s_peak / s0)
... | R0: 2.50, Ambang Kekebalan Kelompok (HIT): 60.0%
Puncak Infeksi: S_peak = 40,000, I_max = 23,388 individu
Ukuran Akhir Epidemi: 89,264 individu (89.26%) | Analisis SIR Kermack-McKendrick membuktikan R0 = 2.50 dan HIT = 60.0%, menghasilkan puncak infeksi aktif I_max = 23.388 orang dan ukuran akhir epidemi 89.26% (89.257 individu). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Angka Reproduksi Dasar dan Ambang Kekebalan Kelompok:**
$$R_0 = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{0.50}{0.20} = 2.50$$
$$\text{HIT} = 1 - \frac{1}{R_0} = 1 - \frac{1}{2.50} = 0.60 \; (60.0\%)$$
2. **Kondisi Puncak Epidemi ($dI/dt = 0$):**
$$S_{\text{peak}} = \frac{N}{R_0} = \frac{100... | R0 = 2.50, HIT = 60%, S_peak = 40000, I_max = 23388, R_inf = 89257 (89.26%) | \boxed{R_0 = 2.50, \quad \text{HIT} = 60.0\%, \quad S_{\text{peak}} = 40.000, \quad I_{\max} \approx 23.388, \quad R_\infty \approx 89.257 \; (89.26\%)} |
LUMINA_EXP_00246 | Computer Architecture & Deep Learning HPC | Transformer Multi-Head Attention FLOPs Complexity and KV-Cache Memory Bounds | medium | Sebuah model bahasa besar (LLM) Decoder-Only berbasis arsitektur Transformer memiliki parameter arsitektur:
- Jumlah lapisan transformer $n_{\text{layers}} = 32$
- Dimensi representasi model $d_{\text{model}} = 4.096$
- Jumlah kepala atensi $n_{\text{heads}} = 32$ dengan dimensi tiap kepala $d_k = d_{\text{model}} / n_... | Kita menganalisis arsitektur sistem komputasi berkinerja tinggi (HPC) untuk deep learning, efisiensi Transformer, dan footprint KV-cache.
Langkah 1: Perhitungan Ukuran Alokasi Memori KV-Cache.
Pada arsitektur Multi-Head Attention standar (MHA):
Untuk setiap token pada setiap lapisan, kita menyimpan dua vektor: vektor ... | def transformer_kv_flops():
n_layers = 32
d_model = 4096
n_heads = 32
d_k = d_model // n_heads # 128
b = 16
s = 4096
bytes_per_elem = 2 # FP16
# 1. KV Cache Memory Size
# 2 (K & V) * n_layers * b * s * d_model * 2 bytes
total_elements = 2 * n_layers * b * s * d_model
tot... | Alokasi Memori KV Cache: 32.0 GiB (34.36 GB)
Komputasi Atensi Single Sequence: 8.796 TFLOPs
Komputasi Atensi Batch 16: 140.74 TFLOPs | Analisis HPC membuktikan ukuran KV-cache batch 16 konteks 4k adalah tepat 32.0 GiB (34.36 GB) dan komputasi atensi mencapai 8.8 TFLOPs per sekuens. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Alokasi Memori KV-Cache (FP16 / $2\text{ Byte}$):**
$$\text{Total Elemen} = 2 \times n_{\text{layers}} \times b \times s \times d_{\text{model}} = 2 \times 32 \times 16 \times 4.096 \times 4.096 = 17.179.869.184\text{ elemen}$$
$$\text{Memori} = 17.179.869.184 \times 2\text{ byte} =... | KV Cache = 32.0 GiB (34.36 GB), FLOPs = 8.80 TFLOPs/seq | \boxed{\text{KV Cache} = 32.0\text{ GiB } (34.36\text{ GB}), \quad \text{FLOPs} \approx 8.80\text{ TFLOPs/seq} \; (140.74\text{ TFLOPs/batch})} |
LUMINA_EXP_00247 | Deep Learning Optimization & Numerical Mathematics | Adam Optimizer Bias-Correction Derivation and Early-Step Convergence | short | Dalam pelatihan model deep learning modern, Pengoptimal Adam Diederik Kingma & Jimmy Ba (2014) menggunakan estimasi adaptif momen pertama (rata-rata gradien terbobot eksponensial $m_t$) dan momen kedua (rata-rata varians kuadrat gradien terbobot $v_t$):
$$m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t, \qquad v_t = \beta_2 ... | Kita menganalisis optimasi numerik deep learning, algoritma Adam, dan penurunan faktor koreksi bias statistik.
Langkah 1: Ekspansi Rekursif Rata-Rata Bergerak Eksponensial.
Persamaan pembaruan momen pertama:
m_t = beta_1 m_{t-1} + (1 - beta_1) g_t.
Dengan m_0 = 0:
m_1 = (1 - beta_1) g_1
m_2 = beta_1 (1 - beta_1) g_1 +... | def adam_bias_correction():
beta1 = 0.90
beta2 = 0.999
t = 1
corr_m1 = 1.0 - (beta1 ** t) # 0.10
corr_v1 = 1.0 - (beta2 ** t) # 0.001
scale_m1 = 1.0 / corr_m1 # 10.0
scale_v1 = 1.0 / corr_v1 # 1000.0
assert abs(corr_m1 - 0.10) < 1e-9
assert abs(corr_v1 - 0.001)... | Koreksi Bias Momen 1 (t=1): Pembagi = 0.100 (Skala x10.0)
Koreksi Bias Momen 2 (t=1): Pembagi = 0.0010 (Skala x1000.0) | Penurunan aljabar deret geometri membuktikan E[m_t] = E[g]*(1 - beta1^t), menghasilkan faktor koreksi bias hat{m}_t = m_t/(1 - beta1^t) dan pembagi 0.001 (skala 1000x) untuk v_1. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Bukti Bias Inisialisasi Nol:**
Ekspansi rekursif $m_t$:
$$m_t = (1 - \beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t - i} g_i$$
Nilai ekspektasi statistik:
$$\mathbb{E}[m_t] = \mathbb{E}[g] (1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{t-1} \beta_1^k = \mathbb{E}[g] (1 - \beta_1) \frac{1 - \beta_1^t}{1 - \beta_... | hat{m}_t = m_t / (1 - beta_1^t), hat{v}_t = v_t / (1 - beta_2^t) | \boxed{\hat{m}_t = \frac{m_t}{1 - \beta_1^t}, \quad \hat{v}_t = \frac{v_t}{1 - \beta_2^t}, \quad t=1: \; (1 - \beta_1) = 0.10, \; (1 - \beta_2) = 0.001 \; (\times 1.000)} |
LUMINA_EXP_00248 | Distributed Systems & Reliability Engineering | Extreme Value Theory (EVT) and P99.9 Heavy-Tail Latency Modeling | short | Dalam rekayasa keandalan sistem terdistribusi (SRE), analisis latensi ekor ekstrem (*tail latency*) $P99.9$ dimodelkan menggunakan Teorema Pickands-Balkema-de Haan pada Teori Nilai Ekstrem (Extreme Value Theory, EVT) melalui Distribusi Pareto Umum (GPD):
$$P(X - u > y \mid X > u) = \left(1 + \xi \frac{y}{\sigma}\right)... | Kita menganalisis rekayasa keandalan situs (SRE), pemodelan latensi ekor terdistribusi, dan Teori Nilai Ekstrem (EVT).
Langkah 1: Formulasi Distribusi Ekor Tak Bersyarat GPD.
Probabilitas tak bersyarat suatu latensi melampaui nilai x (dengan x > u):
P(X > x) = P(X > u) * P(X > x | X > u)
= zeta_u * [ 1 + xi * (x - u) ... | import math
def evt_tail_latency():
u = 50.0
sigma = 15.0
xi = 0.20
zeta_u = 0.02
p = 0.001 # P99.9
ratio = zeta_u / p # 20.0
term = (ratio ** xi) - 1.0
x_p999 = u + (sigma / xi) * term
assert abs(ratio - 20.0) < 1e-9
assert abs(x_p999 - 111.542) < 0.01
return rati... | Rasio Eksidens zeta_u / p: 20.0
Estimasi Latensi Ekor P99.9 EVT-GPD: 111.54 ms | Model EVT Distribusi Pareto Umum membuktikan latensi ekor P99.9 sistem terdistribusi mencapai 111.54 ms pada parameter bentuk heavy-tail xi = 0.20. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Distribusi Ekor Tak Bersyarat GPD:**
$$P(X > x) = \zeta_u \left( 1 + \xi \frac{x - u}{\sigma} \right)^{-1/\xi}$$
Dengan $\zeta_u = \frac{2.000}{100.000} = 0.02$.
2. **Penurunan Formula Kuantil Latensi ($x_p$):**
$$\zeta_u \left( 1 + \xi \frac{x_p - u}{\sigma} \right)^{-1/\xi} = ... | x_P99.9 = 111.54 ms | \boxed{x_{P99.9} = u + \frac{\sigma}{\xi} \left[ \left( \frac{\zeta_u}{p} \right)^\xi - 1 \right] \approx 111.54\text{ ms}} |
LUMINA_EXP_00249 | Distributed Systems & Cloud Architecture | Consistent Hashing Ring and Virtual Node Load Balancing Dynamics | medium | Dalam arsitektur basis data NoSQL terdistribusi (seperti Apache Cassandra dan DynamoDB), partisi kunci diorganisasikan melalui cincin cincin hash konsisten (*Consistent Hashing Ring*) berukuran domain modulo $M = 2^{32}$. Kluster terdiri dari $N = 4$ server fisik. Setiap server dipetakan ke $V = 100$ replika titik virt... | Kita menganalisis arsitektur sistem penyimpanan terdistribusi, hashing konsisten (Consistent Hashing), dan stabilitas topologi vnodes.
Langkah 1: Distribusi Titik Virtual pada Cincin Hash.
Ukuran domain cincin hash: M = 2^32 = 4.294.967.296 posisi slot.
Jumlah server fisik: N = 4 server (A, B, C, D).
Jumlah vnodes per... | def consistent_hashing_sim():
M = 2**32
N = 4
V = 100
T_nodes = N * V # 400
expected_arc = M / T_nodes
sigma_rel = 1.0 / (V ** 0.5) # 0.10
# Node failure
reshuffled_fraction = 1.0 / N # 0.25
fraction_to_each_survivor = reshuffled_fraction / (N - 1) # 1/12 ~ 0.08333
new_... | Total Virtual Nodes pada Cincin: 400
Ekspektasi Panjang Busur: 10,737,418 slot
Deviasi Standar Relatif Beban: 10.0%
Persentase Kunci yang Dipindahkan: 25.0%
Pangsa Beban Baru Tiap Server: 33.33% (1/3) | Analisis Consistent Hashing membuktikan 100 vnodes per server menekan deviasi beban menjadi 10%, dan kegagalan 1 dari 4 server hanya mereshuffle 25% kunci secara seimbang 1/3 ke server tersisa. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Total Titik Virtual dan Panjang Busur:**
$$T_{\text{nodes}} = N \times V = 4 \times 100 = 400\text{ vnodes}$$
$$\mathbb{E}[\text{Busur}] = \frac{2^{32}}{400} = 10.737.418.24\text{ slot}$$
2. **Pengurangan Varians Beban (Teorema Karger):**
Dengan $V = 100$, deviasi standar relati... | T_nodes = 400, sigma_rel = 10%, Kunci Terelokasi = 25%, Beban Baru = 33.33% | \boxed{T_{\text{nodes}} = 400, \quad \sigma_{\text{rel}} = 10\%, \quad \text{Kunci Terelokasi} = 25\%, \quad \text{Pangsa Baru} = 33.33\% \; \left( \frac{1}{3} \right)} |
LUMINA_EXP_00250 | Computer Architecture & Parallel Computing HPC | Amdahl's Law vs Gustafson's Law Speedup Bounds in Supercomputing | long | Dalam komputasi paralel berkinerja tinggi (Supercomputing & HPC), analisis percepatan eksekusi (*speedup*) pada kluster dengan $p = 1.024$ core prosesor dimodelkan oleh dua paradigma hukum percepatan paralel:
1. Hukum Amdahl Gene Amdahl (1967) untuk beban kerja berukuran tetap (*fixed-size workload*):
$$S_A(p) = \frac{... | Kita menganalisis arsitektur superkomputer HPC, komputasi paralel masif, serta perbandingan fundamental Hukum Amdahl versus Hukum Gustafson.
Langkah 1: Analisis Model Beban Tetap Hukum Amdahl.
Asumsi Amdahl: Ukuran masalah komputasi bersifat konstan (Fixed Workload).
Total waktu eksekusi sekuensial dinormalisasi T(1) ... | def parallel_speedup():
p = 1024
s = 0.95
seq = 1.0 - s # 0.05
# 1. Amdahl's Law
s_amdahl = 1.0 / (seq + s / p)
limit_amdahl = 1.0 / seq # 20.0
eff_amdahl = s_amdahl / p
# 2. Gustafson's Law
s_gustafson = seq + p * s
eff_gustafson = s_gustafson / p
assert abs(l... | Speedup Amdahl (p=1024): 19.64x (Batas Maksimum: 20.0x)
Efisiensi Amdahl: 1.92%
Speedup Gustafson (p=1024): 972.85x
Efisiensi Gustafson: 95.00% | Analisis HPC superkomputer 1024 core membuktikan Amdahl dibatasi secara asimptotik pada 20x (efisiensi 1.92%), sedangkan Gustafson mencapai speedup 972.85x (efisiensi 95.00%). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Hukum Amdahl (*Fixed-Size Workload*):**
$$S_A(p) = \frac{1}{(1 - s) + \frac{s}{p}} = \frac{1}{0.05 + \frac{0.95}{1.024}} = \frac{1}{0.050928} \approx 19.64\times$$
Batas asimptotik teoritis mutlak:
$$\lim_{p \to \infty} S_A(p) = \frac{1}{1 - s} = \frac{1}{0.05} = 20.0\times$$
2.... | S_A = 19.64x (Batas: 20x, E_A = 1.92%), S_G = 972.85x (E_G = 95.01%) | \boxed{S_A = 19.64\times \; (\text{Batas: } 20.0\times, \; E_A = 1.92\%), \quad S_G = 972.85\times \; (E_G = 95.01\%)} |
LUMINA_EXP_00251 | Matematika Dasar & Aritmetika Sosial | Perbandingan Berbalik Nilai Tenaga Kerja dan Sisa Waktu Proyek | short | Proyek renovasi perpustakaan sekolah dasar direncanakan selesai dalam waktu 30 hari dengan mempekerjakan 12 orang tukang. Setelah pekerjaan berjalan selama 10 hari, cuaca ekstrem menyebabkan proyek terhenti total selama 5 hari. Agar renovasi perpustakaan tetap dapat diselesaikan tepat waktu sesuai jadwal semula (total ... | Kita membedah permasalahan perbandingan berbalik nilai pada aritmetika sekolah dasar mengenai beban kerja dan alokasi tenaga kerja.
1. Dekonstruksi Permasalahan dan Konsep Satuan Beban Kerja (Man-Days):
Hubungan antara jumlah pekerja ($W$), durasi hari kerja ($D$), dan total volume pekerjaan ($V$) diasumsikan linear p... | def additional_workers_calculation():
total_days = 30
initial_workers = 12
days_worked = 10
days_stopped = 5
total_volume = total_days * initial_workers
volume_done = days_worked * initial_workers
remaining_volume = total_volume - volume_done
remaining_days = total_days - days_... | Total Beban: 360 man-days
Sisa Beban: 240 man-days dalam 15 hari
Pekerja Dibutuhkan: 16 orang (Tambahan: 4 orang) | Verifikasi Python membuktikan bahwa sisa beban 240 man-days dalam 15 hari menuntut tepat 16 pekerja, sehingga dibutuhkan tepat 4 tukang tambahan. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Menghitung Total Beban Pekerjaan Proyek:**
Beban kerja diukur dalam satuan orang-hari (*man-days*):
$$\text{Total Beban} = 30\text{ hari} \times 12\text{ orang} = 360\text{ man-days}$$
2. **Menghitung Pekerjaan yang Telah Diselesaikan:**
Sebelum cuaca ekstrem, 12 orang telah bek... | 4 orang | \boxed{4\text{ orang}} |
LUMINA_EXP_00252 | Matematika Dasar & Aritmetika Pecahan | Debit Pipa Gabungan dan Waktu Pengisian Bak Air | short | Sebuah bak penampungan air sekolah memiliki tiga pipa saluran. Pipa A dapat mengisi bak hingga penuh dari keadaan kosong dalam waktu 4 jam. Pipa B dapat mengisi bak hingga penuh dalam waktu 6 jam. Sedangkan Pipa C adalah pipa pembuangan di dasar yang mampu mengosongkan bak penuh dalam waktu 12 jam. Jika bak awalnya kos... | Kita menganalisis laju aliran fluida gabungan (debit relatif) pada permasalahan aritmetika pecahan tingkat sekolah dasar.
1. Identifikasi Laju Kerja (Debit Masing-Masing Pipa):
Misalkan volume bak penampungan air penuh dinyatakan sebagai $V = 1$ satuan kapasitas penuh.
- Pipa A (pengisi): Mengisi 1 bak dalam 4 jam $\i... | from fractions import Fraction
def tank_filling_time():
rate_a = Fraction(1, 4)
rate_b = Fraction(1, 6)
rate_c = Fraction(1, 12)
net_rate = rate_a + rate_b - rate_c
time_hours = Fraction(1, 1) / net_rate
time_minutes = time_hours * 60
assert time_hours == 3
assert time_minutes... | Laju Pengisian Bersih: 1/3 bak/jam
Waktu Pengisian Penuh: 3 jam = 180 menit | Komputasi pecahan eksak Fractions membuktikan laju bersih 1/3 bak per jam, menghasilkan waktu penuh tepat 3 jam atau 180 menit. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Menentukan Debit Pengisian dan Pengurasan Tiap Pipa:**
Misalkan volume bak penuh adalah 1 bagian:
- Debit Pipa A: $r_A = \frac{1}{4}\text{ bagian/jam}$
- Debit Pipa B: $r_B = \frac{1}{6}\text{ bagian/jam}$
- Debit Pipa C (pembuangan): $r_C = \frac{1}{12}\text{ bagian/jam}$
2.... | 180 menit | \boxed{180\text{ menit}} |
LUMINA_EXP_00253 | Matematika Dasar & Geometri Datar | Keliling dan Luas Bangun Datar Gabungan Lapangan Atletik | short | Sebuah lapangan atletik sekolah dasar memiliki lintasan berbentuk gabungan persegi panjang dengan dua setengah lingkaran identik pada kedua sisi lebarnya. Panjang persegi panjang tersebut adalah $p = 80\text{ m}$ dan lebarnya $l = 28\text{ m}$. Dengan menggunakan nilai pendekatan $\pi = \frac{22}{7}$:
1. Hitung kelilin... | Kita menyelesaikan persoalan geometri bangun datar gabungan (persegi panjang dan dua busur setengah lingkaran) pada kurikulum sekolah dasar.
1. Dekonstruksi Geometris:
Lapangan terdiri atas:
- Satu persegi panjang di bagian tengah dengan panjang $p = 80\text{ m}$ dan lebar $l = 28\text{ m}$.
- Dua setengah lingkaran y... | def athletic_field_geometry():
p = 80
l = 28
r = l // 2
pi_num, pi_den = 22, 7
# Keliling
circ_perimeter = (pi_num * 2 * r) // pi_den
total_perimeter = 2 * p + circ_perimeter
# Luas
rect_area = p * l
circ_area = (pi_num * r * r) // pi_den
total_area = rect_area + ci... | Keliling Lintasan: 248 meter
Luas Lapangan: 2856 m^2 (Persegi Panjang: 2240 m^2, Lingkaran: 616 m^2) | Hasil perhitungan deterministik menghasilkan keliling total 248 m dan luas total 2.856 m^2 secara tepat tanpa sisa. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Identifikasi Dimensi Bangun Datar:**
- Panjang persegi panjang: $p = 80\text{ m}$
- Lebar persegi panjang: $l = 28\text{ m}$
- Diameter setengah lingkaran: $d = 28\text{ m} \implies r = 14\text{ m}$
2. **Perhitungan Keliling Lapangan:**
Lintasan luar terdiri dari 2 sisi panja... | Keliling = 248 m, Luas = 2856 m^2 | \boxed{\text{Keliling} = 248\text{ m}, \quad \text{Luas} = 2.856\text{ m}^2} |
LUMINA_EXP_00254 | Matematika Dasar & Pengukuran Suhu | Kalibrasi Skala Termometer Arbitrer dan Titik Temu Skala | short | Seorang siswa sekolah dasar merancang skala termometer sendiri yang diberi nama termometer Lumina ($^\circ\text{L}$). Termometer tersebut menetapkan titik beku air pada $10^\circ\text{L}$ dan titik didih air pada $160^\circ\text{L}$ pada tekanan standar.
1. Jika suatu ruangan diukur dengan termometer Celcius menunjukka... | Kita menyelesaikan persoalan kalibrasi linier skala termometer buatan dan penentuan titik temu numerik pada matematika IPA SD lanjutan.
1. Penentuan Hubungan Linier Antar-Skala:
Misalkan $C$ adalah suhu dalam Celcius dan $L$ adalah suhu dalam Lumina.
Titik acuan standar air:
- Titik beku air: $C_{\text{beku}} = 0^\cir... | def thermometer_lumina_calibration():
# L = 1.5 * C + 10
c_sample = 30.0
l_sample = 1.5 * c_sample + 10.0
# Titik potong X = 1.5 * X + 10 => -0.5 * X = 10 => X = -20
x_intercept = 10.0 / (1.0 - 1.5)
assert l_sample == 55.0
assert x_intercept == -20.0
return l_sample, x_intercep... | Suhu 30 C setara dengan: 55.0 L
Titik temu kedua termometer: -20.0 (artinya -20 C = -20 L) | Verifikasi aljabar mengonfirmasi suhu 30 Celcius setara dengan 55 Lumina, serta titik potong unik kedua termometer berada pada angka -20. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Menentukan Rumus Kalibrasi Skala:**
- Titik beku: $0^\circ\text{C} \equiv 10^\circ\text{L}$
- Titik didih: $100^\circ\text{C} \equiv 160^\circ\text{L}$
Rentang Celcius $\Delta C = 100$, rentang Lumina $\Delta L = 150$.
$$\frac{L - 10}{150} = \frac{C}{100} \implies L - 10 = \fr... | 55 L dan -20 | \boxed{55^\circ\text{L} \quad \text{dan} \quad -20} |
LUMINA_EXP_00255 | Matematika Dasar & Peluang | Peluang Bersyarat Tanpa Pengembalian dan Kejadian Majemuk | short | Di dalam sebuah kantong terdapat 5 kelereng merah, 4 kelereng biru, dan 3 kelereng hijau (total 12 kelereng). Dua butir kelereng diambil secara acak satu per satu tanpa pengembalian.
1. Berapakah peluang kelereng pertama yang terambil berwarna merah dan kelereng kedua berwarna biru?
2. Berapakah peluang kedua kelereng ... | Kita menelaah konsep peluang kejadian bertingkat tanpa pengembalian (sampling without replacement) pada tingkat matematika sekolah dasar.
1. Identifikasi Ruang Sampel Awal:
Komposisi kelereng di dalam kantong:
- Kelereng Merah ($M$): 5 butir
- Kelereng Biru ($B$): 4 butir
- Kelereng Hijau ($H$): 3 butir
Total awal: $N... | from fractions import Fraction
def marble_probabilities():
total_1 = 12
total_2 = 11
# 1. Merah lalu Biru
p_red_blue = Fraction(5, total_1) * Fraction(4, total_2)
# 2. Kedua Sama
p_mm = Fraction(5, total_1) * Fraction(4, total_2)
p_bb = Fraction(4, total_1) * Fraction(3, total_2)
... | Peluang Merah lalu Biru: 5/33 (0.1515)
Peluang Kedua Warna Sama: 19/66 (0.2879) | Kombinatorika dan kalkulasi pecahan membuktikan peluang merah lalu biru adalah 5/33 dan peluang warna sama adalah 19/66. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Komposisi Kelereng dan Total Sampel:**
- Merah: 5, Biru: 4, Hijau: 3.
- Total awal: $5 + 4 + 3 = 12$ butir.
2. **Peluang Kelereng Pertama Merah dan Kedua Biru:**
- Kelereng pertama Merah: $P(M_1) = \frac{5}{12}$
- Kelereng kedua Biru (sisa 11 butir): $P(B_2 | M_1) = \frac{4}{... | 5/33 dan 19/66 | \boxed{P(M \cap B) = \frac{5}{33}, \quad P(\text{Sama}) = \frac{19}{66}} |
LUMINA_EXP_00256 | Matematika Dasar & Pola Bilangan | Barisan Bertingkat Dua dan Jumlah Deret Batang Korek Api | short | Sebuah pola susunan batang korek api membentuk barisan segitiga bertingkat dengan jumlah batang korek api pada setiap pola berurutan adalah $3, 9, 18, 30, \dots$ untuk pola ke-1, 2, 3, dan 4.
1. Tentukan rumus umum suku ke-$n$ ($U_n$) untuk menentukan banyaknya batang korek api pada pola ke-$n$!
2. Hitung banyaknya bat... | Kita membedah pola barisan bilangan bertingkat dua (deret aritmetika bertingkat) yang sering muncul dalam olimpiade matematika sekolah dasar.
1. Identifikasi Selisih Barisan:
Barisan awal:
$$U_1 = 3, \quad U_2 = 9, \quad U_3 = 18, \quad U_4 = 30$$
Selisih tingkat pertama ($\Delta_1$):
$$9 - 3 = 6$$
$$18 - 9 = 9$$
$$30... | def matchstick_series():
u = [3 * n * (n + 1) // 2 for n in range(1, 11)]
u_10 = u[9]
sum_10 = sum(u)
assert u[:4] == [3, 9, 18, 30]
assert u_10 == 165
assert sum_10 == 660
return u_10, sum_10, u
if __name__ == '__main__':
val_10, total_sum, arr = matchstick_series()
print(f"Ba... | Barisan 10 suku: [3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, 108, 135, 165]
Suku ke-10 (U_10): 165 batang
Total Jumlah (S_10): 660 batang | Formulasi suku ke-n 3/2 n(n+1) berhasil membuktikan U_10 = 165 batang dan total deret 10 suku pertama berjumlah 660 batang. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Analisis Selisih Barisan Bertingkat:**
- Barisan: $3, 9, 18, 30, \dots$
- Selisih ke-1: $6, 9, 12, \dots$
- Selisih ke-2: $3, 3, \dots$ (konstan)
2. **Menentukan Rumus Suku ke-$n$ ($U_n$):**
Karena selisih kedua konstan $= 3$:
$$2a = 3 \implies a = \frac{3}{2}$$
$$3a + ... | U_n = 3/2 n(n+1), U_10 = 165, Jumlah = 660 | \boxed{U_n = \frac{3}{2}n(n + 1), \quad U_{10} = 165, \quad \sum_{n=1}^{10} U_n = 660} |
LUMINA_EXP_00257 | Matematika Dasar & Aritmetika Sosial | Bunga Tunggal Tabungan, Pajak Penghasilan, dan Biaya Administrasi Bank | short | Pak Budi menabung uang di sebuah bank sebesar Rp 15.000.000,00 dengan perjanjian suku bunga tunggal sebesar 8% per tahun. Ketentuan bank menetapkan bahwa bunga tabungan dikenakan pajak penghasilan (PPh) sebesar 20%, serta biaya administrasi bulanan sebesar Rp 12.500,00 yang dipotong langsung setiap akhir bulan. Berapa ... | Kita menganalisis aritmetika sosial perbankan yang melibatkan suku bunga tunggal proporsional waktu, pemotongan pajak bunga, dan biaya administrasi periodik.
1. Identifikasi Variabel Finansial:
- Saldo pokok awal ($M_0$): Rp 15.000.000,00.
- Suku bunga tahunan ($i$): 8% per tahun = 0,08.
- Durasi waktu tabungan ($t$):... | def savings_calculation():
principal = 15000000
annual_rate = 0.08
months = 9
tax_rate = 0.20
admin_per_month = 12500
gross_interest = int(principal * annual_rate * (months / 12))
tax = int(gross_interest * tax_rate)
net_interest = gross_interest - tax
total_admin = months * adm... | Bunga Kotor: Rp 900,000
Bunga Bersih (setelah PPh 20%): Rp 720,000
Total Administrasi (9 bln): Rp 112,500
Saldo Tabungan Bersih: Rp 15,607,500 | Perhitungan keuangan perbankan memastikan bunga kotor Rp 900.000, bunga bersih Rp 720.000, dan saldo akhir tepat Rp 15.607.500. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Menghitung Bunga Kotor Selama 9 Bulan:**
$$B_{\text{kotor}} = 15.000.000 \times 8\% \times \frac{9}{12} = 15.000.000 \times 0{,}08 \times 0{,}75 = \text{Rp } 900.000,00$$
2. **Menghitung Pajak dan Bunga Bersih:**
- Pajak Bunga (20%):
$$\text{Pajak} = 20\% \times 900.000 = \tex... | Rp 15.607.500,00 | \boxed{\text{Rp } 15.607.500,00} |
LUMINA_EXP_00258 | Matematika Dasar & Pengukuran Sudut | Besar Sudut Jarum Jam Analog dan Titik Temu Berhimpit | short | Pada dial sebuah jam dinding analog standar 12 jam:
1. Tentukan besar sudut terkecil dan besar sudut refleks yang dibentuk oleh jarum pendek dan jarum panjang pada pukul 03.40!
2. Tepat pada pukul berapa antara pukul 03.00 dan 04.00 kedua jarum jam tersebut berhimpit saling menindih (membentuk sudut 0 derajat)? Nyataka... | Kita meninjau kinematika rotasi jarum jam analog (lingkaran 360 derajat) yang dipelajari pada materi pengukuran sudut matematika SD.
1. Kecepatan Sudut Masing-Masing Jarum:
Lingkaran dial jam terdiri atas $360^\circ$ yang terbagi menjadi 12 jam dan 60 menit.
- Jarum menit:
Menempuh $360^\circ$ dalam 60 menit $\impli... | from fractions import Fraction
def clock_angle_coincidence():
# Pukul 03.40
theta_m = 40 * 6
theta_h = 3 * 30 + 40 * 0.5
diff_angle = abs(theta_m - theta_h)
reflex_angle = 360 - diff_angle
# Waktu berhimpit
rel_speed = Fraction(11, 2)
t_coincide = Fraction(90, 1) / rel_speed
in... | Pukul 03.40: Sudut Terkecil = 130.0 deg, Sudut Refleks = 230.0 deg
Berhimpit pada t = 180/11 menit = 16 4/11 menit (Pukul 03:16 4/11) | Analisis sudut jam membuktikan sudut terkecil pada 03.40 adalah 130 derajat (refleks 230 derajat) dan waktu berhimpit tepat pada pukul 03:16 4/11. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Sudut Jam pada Pukul 03.40:**
- Jarum menit: $40 \times 6^\circ = 240^\circ$
- Jarum jam: $3 \times 30^\circ + 40 \times 0{,}5^\circ = 90^\circ + 20^\circ = 110^\circ$
- Sudut terkecil:
$$\Delta \theta = 240^\circ - 110^\circ = 130^\circ$$
- Sudut refleks:
$$\theta_{... | 130 deg, 230 deg, Pukul 03:16 4/11 | \boxed{\text{Sudut Terkecil} = 130^\circ, \; \text{Sudut Refleks} = 230^\circ, \; \text{Berhimpit Pukul } 03:16\frac{4}{11}} |
LUMINA_EXP_00259 | Matematika Dasar & Teori Bilangan | Aplikasi KPK Periode Waktu dan FPB Pembagian Parsel | short | 1. Tiga lampu suar mercusuar berkedip secara teratur: Lampu merah berkedip setiap 18 detik, lampu kuning setiap 24 detik, dan lampu hijau setiap 30 detik. Jika ketiga lampu berkedip bersamaan pertama kali pada pukul 08.00.00, pada pukul berapakah ketiga lampu tersebut akan berkedip bersamaan lagi untuk yang kedua kalin... | Kita menuntaskan dua aplikasi kontekstual fundamental dari konsep FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) materi matematika SD.
1. Bagian 1: Aplikasi KPK pada Periode Kedipan Lampu:
Waktu bersamaan berikutnya ditentukan oleh Kelipatan Persekutuan Terkecil dari periode ketiga lampu:
$... | import math
def beacon_and_parcels():
# 1. KPK(18, 24, 30)
lcm_18_24 = math.lcm(18, 24)
lcm_all = math.lcm(lcm_18_24, 30)
minutes = lcm_all // 60
# 2. FPB(84, 56, 42)
gcd_84_56 = math.gcd(84, 56)
gcd_all = math.gcd(gcd_84_56, 42)
mie_per_pack = 84 // gcd_all
susu_per_pack ... | KPK Kedipan: 360 detik = 6 menit -> Pukul 08.06.00
FPB Paket: 14 bingkisan
Isi per paket: 6 mie, 4 susu, 3 beras | Komputasi stdlib math mengonfirmasi KPK 360 detik (berkedip lagi pukul 08.06.00) dan FPB 14 paket dengan isi 6 mie, 4 susu, dan 3 beras. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Waktu Kedipan Lampu Bersamaan (KPK):**
- Faktorisasi prima: $18 = 2 \times 3^2$, $24 = 2^3 \times 3$, $30 = 2 \times 3 \times 5$
- $\operatorname{KPK}(18, 24, 30) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360\text{ detik}$
- Konversi waktu: $360\text{ detik} = 6\text{ menit}$
- Waktu bersam... | Pukul 08.06.00 dan 14 paket (6 mie, 4 susu, 3 beras) | \boxed{\text{Pukul } 08.06.00, \quad 14\text{ paket (6 mie, 4 susu, 3 beras)}} |
LUMINA_EXP_00260 | Matematika Dasar & Geometri Ruang | Volume dan Luas Permukaan Bangun Ruang Gabungan Tabung dan Kerucut | short | Sebuah tenda sirkus anak berbentuk bangun ruang gabungan antara tabung silinder di bagian bawah dan kerucut di bagian atasnya dengan alas melingkar tertutup kain terpal. Jari-jari alas bersama adalah $r = 7\text{ m}$, tinggi dinding tabung adalah $t_{\text{tabung}} = 4\text{ m}$, dan tinggi puncak atap kerucut adalah $... | Kita menyelesaikan persoalan geometri bangun ruang gabungan (tabung dan kerucut) pada kurikulum sekolah dasar lanjutan.
1. Identifikasi Parameter Dimensi:
- Jari-jari alas bersama: $r = 7\text{ m}$.
- Tinggi tabung: $t_1 = 4\text{ m}$.
- Tinggi kerucut: $t_2 = 24\text{ m}$.
- Konstanta $\pi = \frac{22}{7}$.
2. Perhit... | import math
def circus_tent_geometry():
r = 7
h_tabung = 4
h_kerucut = 24
pi_num, pi_den = 22, 7
# 1. Garis pelukis s
s = int(math.isqrt(r*r + h_kerucut*h_kerucut))
assert s * s == r*r + h_kerucut*h_kerucut
# 2. Volume
base_area = (pi_num * r * r) // pi_den
v_tabung = ... | Garis Pelukis (s): 25 m
Volume Total Udara: 1848 m^3
Luas Total Terpal: 880 m^2 | Verifikasi geometri menghasilkan garis pelukis s = 25 m, volume total ruang udara 1.848 m^3, dan luas total terpal 880 m^2. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Panjang Garis Pelukis Kerucut ($s$):**
$$s = \sqrt{r^2 + t_{\text{kerucut}}^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\text{ m}$$
2. **Volume Total Ruang Udara:**
- Luas alas lingkaran bersama:
$$A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154\text{ m}^2$$
- Vol... | s = 25 m, V = 1848 m^3, L = 880 m^2 | \boxed{s = 25\text{ m}, \quad V = 1.848\text{ m}^3, \quad L = 880\text{ m}^2} |
LUMINA_EXP_00261 | Ilmu Politik & Teori Pemilu | Alokasi Kursi Parlemen Kuota Hare-Niemeyer vs Divisor Sainte-Laguë | short | Dalam suatu pemilihan umum legislatif daerah pemilihan (Dapil) beranggotakan 7 kursi dewan, empat partai politik memperoleh perolehan suara sah sebagai berikut: Partai A memperoleh 42.000 suara, Partai B memperoleh 31.000 suara, Partai C memperoleh 15.000 suara, dan Partai D memperoleh 12.000 suara (total 100.000 suara... | Kita membedah sistem pemilu perwakilan proporsional (proportional representation) yang membandingkan dua keluarga algoritma alokasi kursi: metode kuota sisa terbesar (Hare-Niemeyer) dan metode divisor rata-rata tertinggi (Sainte-Laguë).
1. Parameter Pemilu:
- Total alokasi kursi: $S = 7$ kursi.
- Total suara sah: $V =... | def election_seat_allocation():
votes = {'A': 42000, 'B': 31000, 'C': 15000, 'D': 12000}
total_seats = 7
total_votes = sum(votes.values())
# 1. Hare-Niemeyer
quota = total_votes / total_seats
auto_seats = {p: int(v // quota) for p, v in votes.items()}
remainders = {p: (v / quota) - auto... | Alokasi Hare-Niemeyer: {'A': 3, 'B': 2, 'C': 1, 'D': 1}
Alokasi Sainte-Lague: {'A': 3, 'B': 2, 'C': 1, 'D': 1}
Hasil Identik: True | Hasil komputasi algoritma pemilu membuktikan kedua metode menghasilkan alokasi kursi yang identik sempurna: A=3, B=2, C=1, D=1. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Metode Kuota Hare-Niemeyer:**
- Kuota Hare: $Q = \frac{100.000}{7} \approx 14.285{,}71$ suara/kursi.
- Kuota murni dan sisa:
- Partai A: $\frac{42.000}{14.285{,}71} = 2{,}940 \implies 2$ kursi (sisa $0{,}940$)
- Partai B: $\frac{31.000}{14.285{,}71} = 2{,}170 \implies 2$ k... | Partai A: 3, Partai B: 2, Partai C: 1, Partai D: 1 (Identik) | \boxed{\text{Partai A: 3, Partai B: 2, Partai C: 1, Partai D: 1 (Identik)}} |
LUMINA_EXP_00262 | Ilmu Politik & Sosiologi Politik | Fragmentasi Parlemen Indeks Laakso-Taagepera (ENPP) dan Tipologi Sartori | short | Setelah suatu pemilihan umum legislatif nasional diselenggarakan, parlemen yang beranggotakan 100 kursi terdistribusi ke dalam 5 fraksi partai politik dengan rincian: Partai A memperoleh 38 kursi ($p_A = 0{,}38$), Partai B memperoleh 28 kursi ($p_B = 0{,}28$), Partai C memperoleh 16 kursi ($p_C = 0{,}16$), Partai D mem... | Kita meninjau pengukuran kuantitatif fragmentasi sistem kepartaian dalam ilmu politik komparatif menggunakan indeks Laakso-Taagepera (1979).
1. Konsep Indeks Konsentrasi Herfindahl-Hirschman (HHI):
Misalkan $p_i$ adalah proporsi kursi fraksi partai ke-$i$ di parlemen, dengan $\sum_{i=1}^k p_i = 1$.
Indeks konsentrasi ... | def laakso_taagepera_enpp():
seats = {'A': 38, 'B': 28, 'C': 16, 'D': 12, 'E': 6}
total_seats = 100
props = [s / total_seats for s in seats.values()]
hhi = sum(p**2 for p in props)
enpp = 1.0 / hhi
assert abs(hhi - 0.2664) < 1e-9
assert abs(enpp - (10000 / 2664)) < 1e-9
cl... | Indeks Konsentrasi HHI: 0.2664
Jumlah Partai Efektif (ENPP): 3.7538
Klasifikasi Sartori: Multipartai Moderat | Hasil perhitungan membuktikan indeks HHI bernilai 0.2664 dan ENPP bernilai 3.7538 yang mengklasifikasikan parlemen ke dalam sistem Multipartai Moderat. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Perhitungan Indeks Konsentrasi Herfindahl ($HHI$):**
Proporsi kursi masing-masing fraksi ($p_i = \text{kursi}_i / 100$):
$$p_A = 0{,}38, \; p_B = 0{,}28, \; p_C = 0{,}16, \; p_D = 0{,}12, \; p_E = 0{,}06$$
$$HHI = \sum_{i=1}^5 p_i^2 = (0{,}38)^2 + (0{,}28)^2 + (0{,}16)^2 + (0{,}1... | HHI = 0.2664, N_s = 3.7538, Sistem Multipartai Moderat | \boxed{HHI = 0{,}2664, \quad N_s \approx 3{,}7538, \quad \text{Sistem Multipartai Moderat}} |
LUMINA_EXP_00263 | Ilmu Politik & Hukum Kepemiluan | Metrik Efficiency Gap untuk Deteksi Partisan Gerrymandering | short | Dalam suatu yurisdiksi pemilihan dengan 4 distrik pemilihan (masing-masing tepat beranggotakan 10.000 pemilih sah, total 40.000 suara), dua partai politik (Partai Merah dan Partai Biru) memperoleh suara sebagai berikut:
- Distrik 1: Partai Merah 5.500 suara, Partai Biru 4.500 suara (Partai Merah menang)
- Distrik 2: Pa... | Kita menelaah metrik hukum dan matematika konstitusi kuantitatif untuk mendeteksi kecurangan pembagian distrik pemilu (gerrymandering partisan) menggunakan metrik Celah Efisiensi (Efficiency Gap - Stephanopoulos & McGhee, 2014).
1. Prinsip Suara Terbuang (Wasted Votes):
Dalam sistem pemilu distrik berwakil tunggal (Fi... | def gerrymandering_efficiency_gap():
districts = [
{'red': 5500, 'blue': 4500},
{'red': 5200, 'blue': 4800},
{'red': 5300, 'blue': 4700},
{'red': 1500, 'blue': 8500}
]
total_votes = sum(d['red'] + d['blue'] for d in districts)
threshold = 5001
wasted_red = 0
... | Suara Terbuang Merah: 2497, Biru: 17499
Efficiency Gap (Keuntungan Merah): 37.51%
Terindikasi Gerrymandering (>7%): True | Komputasi celah efisiensi menghasilkan nilai EG sebesar +37.51% yang melampaui batas ambang konstitusional 7% secara signifikan. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Menentukan Ambang Batas Kemenangan (*Win Threshold*):**
Untuk distrik 10.000 pemilih, mayoritas mutlak membutuhkan minimal:
$$\text{Threshold} = 5.001\text{ suara}$$
2. **Menghitung Suara Terbuang Tiap Distrik:**
- **Distrik 1:** Merah menang ($5.500$), Biru kalah ($4.500$)
... | EG = +37.51%, Terindikasi Gerrymandering Parah | \boxed{EG = +37{,}51\%, \quad \text{Terindikasi Gerrymandering Parah}} |
LUMINA_EXP_00264 | Ilmu Politik & Teori Permainan | Indeks Kekuatan Suara Shapley-Shubik Dewan Keamanan PBB | short | Dewan Keamanan Perserikatan Bangsa-Bangsa (DK PBB) beranggotakan 15 negara, yang terdiri dari 5 anggota tetap ($P_1, \dots, P_5$) yang memiliki hak veto dan 10 anggota tidak tetap ($N_1, \dots, N_{10}$). Sebuah resolusi substantif disetujui jika dan hanya jika didukung oleh minimal 9 negara dan TIDAK ada veto dari keli... | Kita membedah teori permainan kooperatif (cooperative game theory) dan indeks kekuatan pemungutan suara tertimbang Shapley-Shubik pada institusi Dewan Keamanan PBB.
1. Definisi Formal Permainan Voting DK PBB:
- Himpunan pemain: $N = P \cup T$, dengan $|P| = 5$ (anggota tetap berhak veto) dan $|T| = 10$ (anggota tidak ... | from fractions import Fraction
import math
def un_security_council_shapley():
# Pemain: 5 P (veto), 10 N (non-veto)
# Koalisi menang: 5 P dan minimal 4 N (total >= 9)
# N pivotal jika sebelumnya ada 5 P dan 3 N (total 8 anggota)
ways_n = math.comb(9, 3) * math.factorial(8) * math.factorial(6)
phi_n... | Kekuatan 1 Anggota Tetap (phi_P): 421/2145 (19.627%)
Kekuatan 1 Anggota Tidak Tetap (phi_N): 4/2145 (0.1865%)
Rasio Kekuatan (phi_P / phi_N): 421/4 = 105.25 kali lipat | Kalkulasi kombinatorika eksak Fractions membuktikan phi_P = 421/2145, phi_N = 4/2145, dan rasio kekuatan adalah tepat 105.25 kali lipat. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Struktur Koalisi Menang Dewan Keamanan PBB:**
Total 15 anggota: 5 Anggota Tetap ($P$) dan 10 Anggota Tidak Tetap ($N$).
Resolusi disahkan jika disetujui minimal 9 negara dan memuat seluruh 5 anggota tetap ($5P + \ge 4N$).
2. **Kekuatan Anggota Tidak Tetap ($\phi_N$):**
Anggota $... | phi_P = 421/2145, phi_N = 4/2145, Rasio = 105.25 kali lipat | \boxed{\phi_P = \frac{421}{2145} \approx 19{,}63\%, \quad \phi_N = \frac{4}{2145} \approx 0{,}19\%, \quad \text{Rasio} = 105{,}25\text{ kali}} |
LUMINA_EXP_00265 | Ilmu Politik & Teori Pilihan Sosial | Teorema Juri Condorcet dan Kapasitas Epistemik Pengambilan Keputusan Kolektif | short | Dalam suatu sistem pengadilan musyawarah hakim/juri yang mengambil keputusan berdasarkan suara mayoritas sederhana, setiap juri diasumsikan memiliki kompetensi independen dengan probabilitas $p = 0{,}65$ untuk memberikan suara yang benar.
1. Hitung probabilitas bahwa keputusan kelompok juri adalah benar jika majelis be... | Kita meninjau Teorema Juri Condorcet (Condorcet's Jury Theorem, 1785) dalam teori pilihan sosial dan filsafat politik matematika mengenai keunggulan epistemik pengambilan keputusan kolektif.
1. Formulasi Matematis Teorema Juri Condorcet:
Diberikan majelis juri berukuran ganjil $n = 2m + 1$.
Masing-masing juri memiliki... | import math
def condorcet_jury_theorem():
p = 0.65
q = 1.0 - p
def prob_majority(n):
maj = (n // 2) + 1
return sum(math.comb(n, k) * (p**k) * (q**(n - k)) for k in range(maj, n + 1))
p3 = prob_majority(3)
p7 = prob_majority(7)
# Cari n ganjil minimum untuk p >... | Probabilitas n=3 Juri: 0.71825 (71.825%)
Probabilitas n=7 Juri: 0.80015 (80.015%)
Ukuran Juri Ganjil Minimum (P >= 99%): n = 57 orang | Komputasi binomial membuktikan probabilitas n=3 adalah 71.825%, n=7 adalah 80.015%, dan ukuran majelis minimum untuk kepastian 99% adalah 57 juri. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Formula Teorema Juri Condorcet:**
$$P_n = \sum_{k=\frac{n+1}{2}}^n \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad p = 0{,}65$$
2. **Probabilitas Keputusan Benar untuk $n = 3$ Juri:**
$$P_3 = \binom{3}{2}(0{,}65)^2(0{,}35) + \binom{3}{3}(0{,}65)^3$$
$$P_3 = 3(0{,}4225)(0{,}35) + 0{,}274... | P_3 = 71.83%, P_7 = 80.02%, n_min = 57 juri | \boxed{P_3 = 71{,}83\%, \quad P_7 = 80{,}02\%, \quad n_{\text{min}} = 57\text{ juri}} |
LUMINA_EXP_00266 | Ilmu Politik & Teori Pilihan Sosial | Teorema Ketidakmungkinan Arrow dan Siklus Voting Intransitif Condorcet | short | Tiga orang pemilih ($V_1, V_2, V_3$) memiliki preferensi ordinal ketat terhadap tiga kandidat kebijakan publik ($A, B, C$):
- Pemilih 1 ($V_1$): $A \succ B \succ C$
- Pemilih 2 ($V_2$): $B \succ C \succ A$
- Pemilih 3 ($V_3$): $C \succ A \succ B$
1. Tentukan pemenang dari pemilihan berpasangan mayoritas sederhana (*pai... | Kita membedah Teorema Ketidakmungkinan Arrow (Kenneth Arrow, 1951) dan Paradoks Pilihan Sosial Condorcet dalam agregasi preferensi kolektif.
1. Dekonstruksi Profil Preferensi:
Terdapat himpunan alternatif $X = \{A, B, C\}$ dan himpunan pemilih $N = \{V_1, V_2, V_3\}$.
- $V_1$: $A > B > C$
- $V_2$: $B > C > A$
- $V_3$:... | def arrow_condorcet_cycle():
v1 = {'A': 3, 'B': 2, 'C': 1}
v2 = {'B': 3, 'C': 2, 'A': 1}
v3 = {'C': 3, 'A': 2, 'B': 1}
voters = [v1, v2, v3]
def pairwise(x, y):
x_votes = sum(1 for v in voters if v[x] > v[y])
y_votes = sum(1 for v in voters if v[y] > v[x])
return x if x_... | Hasil Pairwise: A vs B -> A menang, B vs C -> B menang, C vs A -> C menang
Membentuk Siklus Intransitif: True (A > B > C > A) | Evaluasi voting mayoritas membuktikan terbentuknya siklus Condorcet A mengalahkan B (2-1), B mengalahkan C (2-1), dan C mengalahkan A (2-1). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Pemilihan Berpasangan Mayoritas (*Pairwise Voting*):**
- **$A$ vs $B$:**
- $V_1: A > B$
- $V_2: B > A$
- $V_3: A > B$
Skor $A = 2$, Skor $B = 1 \implies \mathbf{A \succ_M B}$
- **$B$ vs $C$:**
- $V_1: B > C$
- $V_2: B > C$
- $V_3: C > B$
Skor ... | A > B, B > C, C > A (Siklus Intransitif) | \boxed{A \succ B, \; B \succ C, \; C \succ A \implies \text{Siklus Intransitif (Pelanggaran Transitivitas Kolektif)}} |
LUMINA_EXP_00267 | Ilmu Politik & Rekayasa Elektoral | Dinamika Transfer Suara Sistem Dua Putaran (TRS) vs Pluralitas (FPTP) | short | Pemilihan presiden diikuti oleh empat kandidat dengan perolehan suara putaran pertama sebagai berikut: Kandidat A memperoleh 38%, Kandidat B memperoleh 32%, Kandidat C memperoleh 20%, dan Kandidat D memperoleh 10%.
1. Tentukan kandidat pemenang jika negara tersebut menerapkan sistem pluralitas satu putaran (*First-Past... | Kita meneliti dinamika rekayasa institusional pemilu sistem mayoritas dua putaran (Two-Round System) dibandingkan sistem pluralitas murni (FPTP).
1. Evaluasi Sistem FPTP (Putaran Tunggal):
Dalam sistem FPTP, pemenang adalah kandidat dengan suara terbanyak tanpa syarat mayoritas mutlak:
$$\text{Suara}: A = 38\%, \; B =... | def trs_vs_fptp_election():
r1 = {'A': 0.38, 'B': 0.32, 'C': 0.20, 'D': 0.10}
# 1. Pemenang FPTP
fptp_winner = max(r1.items(), key=lambda x: x[1])[0]
# 2. Putaran Kedua TRS
a_round2 = r1['A'] + 0.25 * r1['C'] + 0.20 * r1['D']
b_round2 = r1['B'] + 0.75 * r1['C'] + 0.80 * r1['D']
... | Pemenang Sistem FPTP: Kandidat A (A = 38%)
Putaran Kedua TRS: A = 45.0%, B = 55.0%
Pemenang Sistem TRS: Kandidat B (55.0% suara) | Perhitungan transfer pemilih membuktikan Kandidat A menang pada FPTP (38%), tetapi berbalik kalah di putaran kedua TRS di mana Kandidat B menang 55% vs 45%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Sistem Pluralitas Satu Putaran (FPTP):**
Perolehan suara putaran 1: $A = 38\%, B = 32\%, C = 20\%, D = 10\%$.
Karena suara A adalah yang tertinggi, maka **Kandidat A menang FPTP**.
2. **Sistem Dua Putaran (TRS) - Transfer Suara Putaran Kedua:**
- **Kandidat A:**
$$V_A = 38\... | FPTP: Kandidat A (38%), TRS: Kandidat B (55%) | \boxed{\text{FPTP: Kandidat A (38\%)}, \quad \text{TRS: Kandidat B (55\% vs 45\%)}} |
LUMINA_EXP_00268 | Ilmu Politik & Ekonometrika Pemilu | Indeks Disproporsionalitas Pemilu Gallagher dan Loosemore-Hanby | short | Hasil pemilu legislatif di suatu negara menghasilkan perolehan suara populer ($v_i$) dan perolehan kursi parlemen ($s_i$) dalam persentase sebagai berikut:
- Partai 1: $v_1 = 40\%$, $s_1 = 48\%$
- Partai 2: $v_2 = 30\%$, $s_2 = 32\%$
- Partai 3: $v_3 = 18\%$, $s_3 = 14\%$
- Partai 4: $v_4 = 12\%$, $s_4 = 6\%$
1. Hitung... | Kita membedah pengukuran matematis tingkat disproporsionalitas pemilu antara proporsi perolehan suara rakyat dan proporsi kursi parlemen.
1. Identifikasi Data Pemilu:
Terdapat $n = 4$ partai politik dengan data persentase:
- Partai 1: $v_1 = 40$, $s_1 = 48$ $\implies v_1 - s_1 = -8$
- Partai 2: $v_2 = 30$, $s_2 = 32$ ... | import math
def electoral_disproportionality():
parties = [
{'v': 40, 's': 48},
{'v': 30, 's': 32},
{'v': 18, 's': 14},
{'v': 12, 's': 6}
]
# 1. Loosemore-Hanby
d_lh = 0.5 * sum(abs(p['v'] - p['s']) for p in parties)
# 2. Gallagher
sum_sq = sum((p['v'] ... | Indeks Loosemore-Hanby (D): 10.00%
Indeks Gallagher (G): 7.7460% (Eksak: sqrt(60) = 2*sqrt(15)) | Kalkulasi disproporsionalitas pemilu menghasilkan indeks Loosemore-Hanby D = 10.0% dan indeks Gallagher G = sqrt(60) = 7.746%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Tabel Deviasi Suara dan Kursi:**
- Partai 1: $v_1 - s_1 = 40 - 48 = -8$
- Partai 2: $v_2 - s_2 = 30 - 32 = -2$
- Partai 3: $v_3 - s_3 = 18 - 14 = +4$
- Partai 4: $v_4 - s_4 = 12 - 6 = +6$
2. **Indeks Loosemore-Hanby ($D$):**
$$D = \frac{1}{2} (| -8 | + | -2 | + | 4 | + | 6... | D = 10.0%, G = sqrt(60) approx 7.75% | \boxed{D = 10{,}0\%, \quad G = \sqrt{60} \approx 7{,}75\%} |
LUMINA_EXP_00269 | Ilmu Politik & Ekonomi Politik Positif | Model Alokasi Anggaran Legislatif Baron-Ferejohn (SPNE Bargaining) | short | Tiga fraksi legislatif berkekuatan seimbang ($1, 2, 3$) merundingkan alokasi anggaran proyek senilai $B = \$120\text{ juta}$. Keputusan diambil berdasarkan persetujuan mayoritas sederhana (minimal 2 dari 3 fraksi setuju). Fraksi 1 terpilih secara acak sebagai pengusul proposal (*proposer*) pada babak pertama. Jika prop... | Kita menganalisis model negosiasi legislatif Baron-Ferejohn (1989) dalam ekonomi politik positif mengenai pembagian anggaran kue (*pork-barrel bargaining*).
1. Karakteristik Model:
- Jumlah pemain: $n = 3$ fraksi.
- Kuorum keputusan: Mayoritas sederhana $= \lceil (3+1)/2 \rceil = 2$ suara.
- Total nilai anggaran awal:... | def baron_ferejohn_bargaining():
budget = 120
delta = 0.80
n = 3
# Nilai ekspektasi kelanjutan per fraksi
continuation_value = (delta * budget) / n
x2 = continuation_value
x3 = 0.0
x1 = budget - x2 - x3
assert x2 == 32.0
assert x1 == 88.0
assert x3 == 0.0
r... | Alokasi Fraksi 1 (Proposer): $88.0 juta
Alokasi Fraksi 2 (Koalisi): $32.0 juta
Alokasi Fraksi 3 (Diabaikan): $0.0 juta | Model Baron-Ferejohn mengonfirmasi alokasi Fraksi 1 sebesar $88 juta, mitra koalisi Fraksi 2 sebesar $32 juta, dan Fraksi 3 sebesar $0. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Menghitung Nilai Kelanjutan (*Continuation Value*):**
Jika perundingan ditunda ke babak kedua, total anggaran terdiskonto menjadi $\delta B = 0{,}80 \times 120 = \$96\text{ juta}$.
Secara simetris, ekspektasi nilai bagi tiap fraksi adalah:
$$v = \frac{\delta B}{3} = \frac{96}{3} ... | x1 = $88 juta, x2 = $32 juta, x3 = $0 juta | \boxed{x_1 = \$88\text{ juta}, \quad x_2 = \$32\text{ juta}, \quad x_3 = \$0\text{ juta}} |
LUMINA_EXP_00270 | Ilmu Politik & Hukum Kepemiluan | Ambang Batas Efektif Representasi Parlemen Taagepera-Shugart | short | Suatu sistem pemilihan umum perwakilan proporsional memiliki Daerah Pemilihan (Dapil) dengan besaran distrik $M = 6$ kursi dan terdapat $S = 5$ partai politik yang berkompetisi aktif memperebutkan kursi.
1. Hitung ambang batas inklusi minimum (*threshold of representation/inclusion* - $T_{\text{inc}}$)!
2. Hitung amban... | Kita menelaah hukum institusional kepemiluan mengenai ambang batas perolehan kursi representasi parlemen (Rein Taagepera & Matthew Shugart, 1989).
1. Konsep Ambang Batas Inklusi ($T_{\text{inc}}$):
Ambang batas inklusi adalah persentase suara minimum mutlak yang memungkinkan suatu partai memenangkan setidaknya 1 kursi... | from fractions import Fraction
def taagepera_electoral_thresholds():
m = 6
s = 5
t_inc = Fraction(1, m + s - 1)
t_exc = Fraction(1, m + 1)
t_eff = Fraction(1, 2 * (m + 1)) + Fraction(1, 4 * m)
assert t_inc == Fraction(1, 10)
assert t_exc == Fraction(1, 7)
assert t_eff == Fract... | Ambang Batas Inklusi (T_inc): 1/10 (10.00%)
Ambang Batas Eksklusi (T_exc): 1/7 (14.29%)
Ambang Batas Efektif (T_eff): 19/168 (11.31%) | Kalkulasi pecahan Fractions membuktikan T_inc = 1/10 (10.0%), T_exc = 1/7 (14.29%), dan T_eff = 19/168 (11.31%). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Ambang Batas Inklusi Minimum ($T_{\text{inc}}$):**
$$T_{\text{inc}} = \frac{1}{M + S - 1} = \frac{1}{6 + 5 - 1} = \frac{1}{10} = 10{,}0\%$$
2. **Ambang Batas Eksklusi Maksimum ($T_{\text{exc}}$):**
$$T_{\text{exc}} = \frac{1}{M + 1} = \frac{1}{6 + 1} = \frac{1}{7} \approx 14{,}29\%... | T_inc = 10.0%, T_exc = 14.29%, T_eff = 19/168 (11.31%) | \boxed{T_{\text{inc}} = 10{,}0\%, \quad T_{\text{exc}} = 14{,}29\%, \quad T_{\text{eff}} = \frac{19}{168} \approx 11{,}31\%} |
LUMINA_EXP_00271 | Manajemen Industri & Riset Operasi | Optimasi Pemrograman Linier Bauran Produk Metode Simpleks | short | Pabrik furnitur memproduksi Meja ($x_1$) dan Kursi ($x_2$) dengan margin keuntungan masing-masing Rp 400.000,00 dan Rp 300.000,00 per unit. Fungsi tujuan maksimasi keuntungan: $Z = 400x_1 + 300x_2$ (dalam ribuan rupiah). Proses produksi dibatasi oleh tiga kendala sumber daya:
1. Jam kerja perakitan: $2x_1 + x_2 \le 100... | Kita membedah program linier (Linear Programming) optimasi alokasi bauran produksi dua variabel dengan tiga kendala sumber daya industri.
1. Formulasi Matematis Masalah:
Maksimalkan fungsi keuntungan:
$$Z(x_1, x_2) = 400 x_1 + 300 x_2$$
Terhadap kendala (*constraints*):
- Kendala 1: $2x_1 + x_2 \le 100$
- Kendala 2: $... | from fractions import Fraction
def simplex_product_mix():
# Titik pojok layak: (0,0), (50,0), (0,60), (80/3, 140/3)
corners = [
(Fraction(0), Fraction(0)),
(Fraction(50), Fraction(0)),
(Fraction(0), Fraction(60)),
(Fraction(80, 3), Fraction(140, 3))
]
# Validasi ken... | Koordinat Optimal: x1 = 80/3 (26.67), x2 = 140/3 (46.67)
Keuntungan Maksimum Z: Rp 74000/3 ribu = Rp 24,666,666.67 | Evaluasi titik pojok membuktikan solusi optimal pada x1 = 80/3 (26.67) dan x2 = 140/3 (46.67) dengan keuntungan maksimum Rp 24.666.666,67. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Uji Titik Pojok Daerah Layak (*Feasible Region*):**
- Garis kendala aktif pada titik potong optimal:
$$2x_1 + x_2 = 100 \quad \text{dan} \quad x_1 + 2x_2 = 120$$
- Eliminasi persamaan:
$$x_1 + 2(100 - 2x_1) = 120 \implies -3x_1 = -80 \implies x_1 = \frac{80}{3} = 26\frac{2... | x1 = 80/3, x2 = 140/3, Z = 74000/3 ribu | \boxed{\left(x_1^*, x_2^*\right) = \left(\frac{80}{3}, \frac{140}{3}\right), \quad Z^* = \frac{74.000}{3} \text{ ribu (Rp } 24.666.666{,}67)} |
LUMINA_EXP_00272 | Manajemen Industri & Rantai Pasok | Pengendalian Persediaan Model EOQ dengan Diskon Kuantitas Bertingkat | short | Sebuah pabrik manufaktur memiliki kebutuhan bahan baku tahunan sebesar $D = 10.000\text{ unit}$. Biaya setiap kali melakukan pemesanan adalah $S = \text{Rp } 500.000,00$. Biaya penyimpanan tahunan ditetapkan sebesar $20\%$ dari harga beli barang per unit ($H = 0{,}20 \times P$). Pemasok menawarkan skema diskon kuantita... | Kita menyelesaikan masalah pengendalian persediaan (inventory control) model EOQ klasik dengan diskon kuantitas harga bertingkat (all-units quantity discount).
1. Parameter Dasar Persediaan:
- Permintaan tahunan ($D$): $10.000$ unit.
- Biaya pesan ($S$): Rp 500.000 per pesanan.
- Rasio biaya simpan ($i$): $20\% = 0{,}... | import math
def eoq_quantity_discounts():
d = 10000
s = 500000
i = 0.20
# Kategori 3: P = 45000, Q >= 2000
p3 = 45000
h3 = i * p3
q3_raw = math.sqrt(2 * d * s / h3)
# q3_raw < 2000 => price break di Q = 2000
q3_opt = 2000
tc_3 = d * p3 + (d / q3_opt) * s + (q3_opt / 2) * h3... | Kategori 3 (Q = 2000): Total Biaya = Rp 461,500,000.00
Kategori 2 (Q = 1020.6): Total Biaya = Rp 489,797,958.97
Kuantitas Optimal Terpilih: Q* = 2000 unit (Hemat Rp 28,297,958.97) | Analisis total biaya persediaan membuktikan Q* = 2000 unit meminimalkan biaya tahunan menjadi Rp 461.500.000,00. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Evaluasi Diskon Kategori 3 ($P = \text{Rp } 45.000$, syarat $Q \ge 2.000$):**
- Biaya simpan: $H_3 = 0{,}20 \times 45.000 = 9.000$
- $Q_3 = \sqrt{\frac{2 \times 10.000 \times 500.000}{9.000}} \approx 1.054{,}09 < 2.000$ (Tidak layak).
- Evaluasi batas kuota layak: $Q = 2.000\text... | Q* = 2000 unit, TC = Rp 461.500.000,00 | \boxed{Q^* = 2.000\text{ unit}, \quad TC = \text{Rp } 461.500.000,00} |
LUMINA_EXP_00273 | Manajemen Industri & Rekayasa Manufaktur | Penyeimbangan Lini Perakitan Metode Ranked Positional Weight (RPW) | short | Lini perakitan komponen otomotif terdiri atas 6 elemen tugas kerja dengan waktu pengerjaan dan hubungan pendahulu (*precedence*) sebagai berikut:
- Tugas A: 40 detik (tanpa pendahulu)
- Tugas B: 30 detik (pendahulu: A)
- Tugas C: 50 detik (pendahulu: A)
- Tugas D: 40 detik (pendahulu: B)
- Tugas E: 30 detik (pendahulu:... | Kita meneliti perancangan keseimbangan lini perakitan industri (assembly line balancing) menggunakan algoritma heuristik Helgeson-Birnie (Ranked Positional Weight Method).
1. Parameter Lini Perakitan:
- Target produksi: $P = 60$ unit/jam.
- Waktu kerja per jam: $3.600$ detik.
- Waktu siklus (*cycle time*): $C = \frac{... | def assembly_line_balancing():
times = {'A': 40, 'B': 30, 'C': 50, 'D': 40, 'E': 30, 'F': 20}
c = 60
total_time = sum(times.values())
rpw = {
'F': 20,
'D': 40 + 20,
'E': 30 + 20,
'C': 50 + 30 + 20,
'B': 30 + 40 + 20,
'A': 40 + 30 + 50 + 40 + 30 + 20
... | RPW Nilai: {'F': 20, 'D': 60, 'E': 50, 'C': 100, 'B': 90, 'A': 210}
Jumlah Stasiun Kerja: 4 stasiun
Efisiensi Lini (E): 87.5%
Balance Delay (d): 12.5% | Metode RPW menghasilkan 4 stasiun kerja optimal dengan efisiensi lini 87.5% dan balance delay 12.5%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Perhitungan Ranked Positional Weight (RPW):**
- $RPW(A) = 40 + 30 + 50 + 40 + 30 + 20 = 210$
- $RPW(C) = 50 + 30 + 20 = 100$
- $RPW(B) = 30 + 40 + 20 = 90$
- $RPW(D) = 40 + 20 = 60$
- $RPW(E) = 30 + 20 = 50$
- $RPW(F) = 20$
2. **Alokasi Stasiun Kerja ($C = 60\text{ deti... | N = 4 stasiun, E = 87.5%, d = 12.5% | \boxed{N = 4\text{ stasiun}, \quad E = 87{,}5\%, \quad d = 12{,}5\%} |
LUMINA_EXP_00274 | Manajemen Industri & Rekayasa Keandalan | Keandalan Sistem Campuran Paralel-Seri dan Redundansi K-out-of-N | short | Subsistem navigasi penerbangan kritis dirancang dengan arsitektur keandalan campuran (*mixed system reliability*):
1. Modul Sensor Depan terdiri dari 2 unit sensor redundan paralel murni, masing-masing dengan reliabilitas $R_A = 0{,}95$.
2. Terhubung secara seri dengan Komputer Pemroses yang terdiri dari subsistem redu... | Kita membedah teori keandalan sistem industri penerbangan (Reliability Engineering) dengan struktur redundansi paralel dan struktur voting modular k-out-of-n.
1. Keandalan Modul Sensor A (Redundansi Paralel Murni 2 Unit):
Sistem paralel 2 unit hanya gagal jika kedua unit gagal bersamaan.
Peluang kegagalan masing-masin... | def avionics_system_reliability():
# 1. Sensor: Paralel 2 unit
ra = 0.95
r_sensor = 1.0 - (1.0 - ra)**2
# 2. Prosesor: 2-out-of-3
rb = 0.90
r_proc = 3 * (rb**2) * (1.0 - rb) + (rb**3)
# 3. Aktuator
rc = 0.98
# Total Seri
r_sys = r_sensor * r_proc * rc
asse... | Keandalan Sensor (Paralel 2): 0.9975 (99.75%)
Keandalan Prosesor (2-out-of-3): 0.9720 (97.20%)
Keandalan Aktuator: 0.9800 (98.00%)
Keandalan Total Sistem: 0.9501786 (95.02%) | Kalkulasi keandalan menghasilkan sensor 0.9975, prosesor 0.9720, dan reliabilitas akhir sistem adalah 0.9501786 (95.02%). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Keandalan Modul Sensor (Paralel 2 Unit):**
$$R_{\text{sensor}} = 1 - (1 - 0{,}95)^2 = 1 - 0{,}0025 = 0{,}9975$$
2. **Keandalan Modul Prosesor (2-out-of-3 Voting):**
$$R_{\text{prosesor}} = \binom{3}{2}(0{,}9)^2(0{,}1) + \binom{3}{3}(0{,}9)^3 = 0{,}243 + 0{,}729 = 0{,}9720$$
3. **K... | R_sensor = 99.75%, R_proc = 97.20%, R_sys = 95.02% | \boxed{R_{\text{sensor}} = 99{,}75\%, \quad R_{\text{prosesor}} = 97{,}20\%, \quad R_{\text{sistem}} \approx 95{,}02\%} |
LUMINA_EXP_00275 | Manajemen Industri & Riset Operasi | Analisis Model Antrean M/M/1 dan Hukum Little | short | Sebuah loket gerbang pembayaran tol otomatis melayani kedatangan kendaraan yang mengikuti proses Poisson dengan laju rata-rata $\lambda = 180\text{ kendaraan/jam}$. Waktu transaksi pembayaran berdistribusi eksponensial dengan laju pelayanan rata-rata $\mu = 240\text{ kendaraan/jam}$.
1. Hitung tingkat utilisasi loket t... | Kita menganalisis sistem antrean jalur tunggal stokastik M/M/1 (Kendall's Notation) dan Hukum Little (Little's Law, 1961) dalam rekayasa transportasi dan operasi industri.
1. Parameter Sistem Antrean M/M/1:
- Laju kedatangan: $\lambda = 180$ kendaraan/jam.
- Laju pelayanan: $\mu = 240$ kendaraan/jam.
Kondisi kestabila... | def mm1_queueing_toll():
lam = 180.0
mu = 240.0
rho = lam / mu
l_sys = rho / (1.0 - rho)
l_q = (rho**2) / (1.0 - rho)
w_sys_hours = l_sys / lam
w_q_hours = l_q / lam
w_sys_min = w_sys_hours * 60.0
w_q_min = w_q_hours * 60.0
assert rho == 0.75
assert l_sys ... | Utilisasi Loket (rho): 75.0%
Rata-rata di Sistem (L): 3.00 kendaraan, di Antrean (Lq): 2.25 kendaraan
Waktu di Sistem (W): 1.00 menit, Waktu Tunggu (Wq): 0.75 menit (45 detik) | Model M/M/1 mengonfirmasi utilisasi rho = 75%, L = 3 kendaraan, Lq = 2.25 kendaraan, W = 1.0 menit, dan Wq = 0.75 menit. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Tingkat Utilisasi Server ($\rho$):**
$$\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{180}{240} = 0{,}75 \implies 75\%$$
2. **Jumlah Rata-rata Kendaraan ($L$ dan $L_q$):**
- Di seluruh sistem:
$$L = \frac{\rho}{1 - \rho} = \frac{0{,}75}{0{,}25} = 3{,}0\text{ kendaraan}$$
- Di dalam ant... | rho = 75%, L = 3, Lq = 2.25, W = 1.0 menit, Wq = 0.75 menit | \boxed{\rho = 75\%, \quad L = 3\text{ unit}, \quad L_q = 2{,}25\text{ unit}, \quad W = 1{,}0\text{ menit}, \quad W_q = 0{,}75\text{ menit}} |
LUMINA_EXP_00276 | Manajemen Industri & Pengendalian Kualitas | Peta Kendali Statistik Shewhart X-bar dan R serta Deteksi Out-of-Control | short | Lini produksi pengisian cairan botol minuman mengambil 5 sampel per subgrup ($n = 5$) selama 20 subgrup pengamatan awal. Dari data pengukuran diperoleh nilai rata-rata keseluruhan $\bar{\bar{X}} = 500{,}2\text{ mL}$ dan rata-rata rentang $\bar{R} = 4{,}8\text{ mL}$. Untuk ukuran subgrup $n = 5$, faktor konstanta kendal... | Kita menganalisis pengendalian kualitas statistik (Statistical Process Control - SPC) menggunakan bagan kendali Shewhart $\bar{X}$ dan $R$.
1. Konsep Peta Kendali Shewhart:
Peta kendali memantau stabilitas proses manufaktur terhadap variasi sebab khusus (*special cause variation*).
- Garis Tengah (Center Line - CL): M... | def spc_control_charts():
x_double_bar = 500.2
r_bar = 4.8
a2 = 0.577
d3 = 0.0
d4 = 2.114
# Peta X-bar
cl_x = x_double_bar
ucl_x = x_double_bar + a2 * r_bar
lcl_x = x_double_bar - a2 * r_bar
# Peta R
cl_r = r_bar
ucl_r = d4 * r_bar
lcl_r = d3 * r_bar
... | Peta X-bar: CL = 500.2, UCL = 502.9696, LCL = 497.4304
Peta R: CL = 4.8, UCL = 10.1472, LCL = 0.0000
Status Subgrup 21 (X=503.5): Out-of-Control = True (X > UCL_X) | Perhitungan batas kendali Shewhart menghasilkan UCL_X = 502.9696 mL, LCL_X = 497.4304 mL, dan membuktikan subgrup 21 berada di luar kendali (out-of-control). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Batas Kendali Peta $\bar{X}$:**
- $CL_X = \bar{\bar{X}} = 500{,}2\text{ mL}$
- $UCL_X = 500{,}2 + (0{,}577 \times 4{,}8) = 500{,}2 + 2{,}7696 = 502{,}9696\text{ mL}$
- $LCL_X = 500{,}2 - (0{,}577 \times 4{,}8) = 500{,}2 - 2{,}7696 = 497{,}4304\text{ mL}$
2. **Batas Kendali Peta ... | UCL_X = 502.9696, LCL_X = 497.4304, UCL_R = 10.1472, Status Out-of-Control | \boxed{\text{Peta } \bar{X}: [497{,}4304; \; 502{,}9696], \quad \text{Peta } R: [0; \; 10{,}1472], \quad \text{Status: Out-of-Control}} |
LUMINA_EXP_00277 | Manajemen Industri & Riset Operasi | Optimasi Distribusi Transportasi Metode Least Cost dan Kelayakan Basis | short | Tiga pabrik ($P_1, P_2, P_3$) dengan kapasitas produksi masing-masing 50, 40, dan 60 unit mendistribusikan produknya ke tiga gudang pemasaran ($G_1, G_2, G_3$) dengan kebutuhan permintaan masing-masing 40, 60, dan 50 unit (total 150 unit seimbang). Matriks biaya pengiriman per unit (dalam ribuan rupiah) adalah:
- Dari ... | Kita menyelesaikan persoalan transportasi industri riset operasi menggunakan algoritma alokasi Least Cost Method (LCM) dan uji degenerasi basis.
1. Identifikasi Parameter Masalah Transportasi:
- Kapasitas pasokan: $S = [50, 40, 60]$, total pasokan $= 150$ unit.
- Kebutuhan permintaan: $D = [40, 60, 50]$, total permint... | def transportation_least_cost():
allocations = {
('P1', 'G2'): (50, 4),
('P2', 'G3'): (40, 2),
('P3', 'G1'): (40, 3),
('P3', 'G2'): (10, 9),
('P3', 'G3'): (10, 5)
}
total_cost_ribuan = sum(qty * cost for qty, cost in allocations.values())
total_cost_rupiah = ... | Alokasi Sel Terisi: 5 sel (Syarat non-degenerasi: 5 terpenuhi)
Total Biaya Transportasi: Rp 540 ribu = Rp 540,000 | Metode Least Cost menghasilkan total biaya pengiriman Rp 540.000 dengan tepat 5 sel terisi yang memenuhi syarat non-degenerasi basis. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Urutan Alokasi Biaya Terendah (*Least Cost Method*):**
- $P_2 \to G_3$: Alokasi 40 unit pada biaya 2 $\implies 40 \times 2 = 80$
- $P_3 \to G_1$: Alokasi 40 unit pada biaya 3 $\implies 40 \times 3 = 120$
- $P_1 \to G_2$: Alokasi 50 unit pada biaya 4 $\implies 50 \times 4 = 200$
... | Total Biaya = Rp 540.000,00 (5 sel terisi) | \boxed{\text{Total Biaya} = \text{Rp } 540.000,00, \quad \text{Basis Non-Degenerate (5 sel)}} |
LUMINA_EXP_00278 | Manajemen Industri & Akuntansi Biaya | Analisis Titik Impas Multi-Produk Bauran Margin Kontribusi Tertimbang | short | Perusahaan manufaktur garmen memproduksi tiga lini produk (Kemeja, Celana, Jaket) dengan total biaya tetap tahunan $FC = \text{Rp } 360.000.000,00$. Rincian data harga jual, biaya variabel per unit, dan bauran penjualan (*sales mix*) adalah:
- Kemeja: Harga jual Rp 20.000,00; Biaya variabel Rp 12.000,00; Bauran omzet p... | Kita membedah analisis Titik Impas Multi-Produk (Multi-Product Break-Even Analysis) dan Margin Kontribusi Tertimbang dalam akuntansi manajemen industri.
1. Rasio Margin Kontribusi per Produk:
Rumus margin kontribusi per unit: $CM_i = P_i - VC_i$.
Rasio margin kontribusi (*Contribution Margin Ratio*):
$$CMR_i = \frac{P... | from fractions import Fraction
def multi_product_bep():
fc = 360000000
target_profit = 90000000
cmr1 = Fraction(8000, 20000)
cmr2 = Fraction(20000, 50000)
cmr3 = Fraction(60000, 100000)
wacmr = Fraction(50, 100) * cmr1 + Fraction(30, 100) * cmr2 + Fraction(20, 100) * cmr3
bep... | Rasio WACMR: 11/25 (44.00%)
BEP Total Penjualan: Rp 818,181,818.18 (Eksak: 9000000000/11)
Target Omzet Laba 90 Juta: Rp 1,022,727,272.73 | Kalkulasi akuntansi industri membuktikan WACMR bernilai 44% (11/25), BEP penjualan sebesar Rp 818.181.818,18, dan target omzet Rp 1.022.727.272,73. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Rasio Margin Kontribusi Tiap Produk:**
- Kemeja: $CMR_1 = \frac{20.000 - 12.000}{20.000} = 40\%$
- Celana: $CMR_2 = \frac{50.000 - 30.000}{50.000} = 40\%$
- Jaket: $CMR_3 = \frac{100.000 - 40.000}{100.000} = 60\%$
2. **Rasio Margin Kontribusi Rata-Rata Tertimbang (WACMR):**
$... | WACMR = 44%, BEP = Rp 818.181.818,18, Target = Rp 1.022.727.272,73 | \boxed{WACMR = 44\%, \quad BEP = \text{Rp } 818.181.818{,}18, \quad \text{Target Omzet} = \text{Rp } 1.022.727.272{,}73} |
LUMINA_EXP_00279 | Manajemen Industri & Penjadwalan Produksi | Penjadwalan Flowshop 2-Mesin Aturan Johnson dan Minimasi Makespan | short | Sebuah bengkel mesin presisi harus memproses 5 pesanan komponen ($J_1, J_2, J_3, J_4, J_5$) secara berurutan melalui Mesin 1 (Pembubutan) dan kemudian Mesin 2 (Penggerindaan). Durasi waktu proses pengerjaan (dalam jam) adalah:
- Job 1 ($J_1$): Mesin 1 = 5 jam, Mesin 2 = 2 jam
- Job 2 ($J_2$): Mesin 1 = 1 jam, Mesin 2 =... | Kita meneliti penjadwalan sistem manufaktur flowshop 2-mesin menggunakan algoritma Aturan Johnson (S.M. Johnson, 1954).
1. Logika Algoritma Aturan Johnson:
Tujuan algoritma adalah meminimalkan total rentang waktu penyelesaian (*makespan* $C_{\text{max}}$).
Aturan:
- Cari waktu proses terkecil dari seluruh job pada ked... | def johnsons_rule_flowshop():
jobs = {
'J1': (5, 2),
'J2': (1, 6),
'J3': (8, 7),
'J4': (3, 8),
'J5': (6, 4)
}
sequence = ['J2', 'J4', 'J3', 'J5', 'J1']
m1_end = 0
m2_end = 0
m2_work_time = 0
for j in sequence:
t1, t2 = jobs[j]
... | Urutan Penjadwalan Optimal: J2 -> J4 -> J3 -> J5 -> J1
Total Makespan: 28 jam
Idle Time Mesin 2: 1 jam | Simulasi Aturan Johnson membuktikan urutan optimal J2 -> J4 -> J3 -> J5 -> J1 menghasilkan makespan 28 jam dan idle time Mesin 2 tepat 1 jam. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Penentuan Urutan Penjadwalan Aturan Johnson:**
- Waktu minimum $1\text{ jam}$ pada M1 ($J_2$) $\implies$ urutan ke-1.
- Waktu minimum $2\text{ jam}$ pada M2 ($J_1$) $\implies$ urutan ke-5.
- Waktu minimum $3\text{ jam}$ pada M1 ($J_4$) $\implies$ urutan ke-2.
- Waktu minimum $... | Urutan: J2 -> J4 -> J3 -> J5 -> J1, Makespan = 28 jam, Idle = 1 jam | \boxed{\text{Urutan: } J_2 \to J_4 \to J_3 \to J_5 \to J_1, \quad \text{Makespan} = 28\text{ jam}, \quad \text{Idle M2} = 1\text{ jam}} |
LUMINA_EXP_00280 | Manajemen Industri & Total Productive Maintenance | Dekomposisi Six Big Losses dan Overall Equipment Effectiveness (OEE) | short | Sebuah sel robot pengelasan otomatis beroperasi selama 1 shift kerja 8 jam (480 menit). Waktu istirahat resmi terjadwal dan pembersihan pabrik adalah 30 menit. Selama shift berlangsung, mesin mencatat data kerugian waktu (*Six Big Losses*) sebagai berikut:
- Kerusakan mesin tiba-tiba (*breakdown*): 25 menit
- Penyetela... | Kita membedah metrik produktivitas manufaktur Total Productive Maintenance (TPM) mengenai Overall Equipment Effectiveness (OEE) dan dekomposisi Six Big Losses.
1. Definisi Parameter Waktu Operasi:
- Total Waktu Shift: $480$ menit.
- Waktu Terencana Berhenti (*Planned Downtime*): $30$ menit.
- Waktu Pemuatan yang Diren... | from fractions import Fraction
def robotic_oee_calculation():
planned_time = 480 - 30
downtime = 25 + 15
operating_time = planned_time - downtime
# 1. Availability
avail = Fraction(operating_time, planned_time)
# 2. Performance
total_units = 700
ideal_cycle = Fraction(1, 2) #... | Availability (A): 41/45 (91.11%)
Performance (P): 35/41 (85.37%)
Quality (Q): 49/50 (98.00%)
Total OEE: 343/450 = 76.22% (World Class >= 85%: Belum Tercapai) | Kalkulasi OEE TPM membuktikan A = 41/45 (91.11%), P = 35/41 (85.37%), Q = 49/50 (98.00%), dan total OEE adalah 343/450 (76.22%). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Rasio Ketersediaan (*Availability*):**
$$T_{\text{loading}} = 480 - 30 = 450\text{ menit}, \quad T_{\text{operating}} = 450 - 40 = 410\text{ menit}$$
$$A = \frac{410}{450} = \frac{41}{45} \approx 91{,}11\%$$
2. **Rasio Kinerja (*Performance*):**
$$T_{\text{net}} = 700 \times 0{,... | A = 91.11%, P = 85.37%, Q = 98.00%, OEE = 343/450 (76.22%) | \boxed{A = 91{,}11\%, \quad P = 85{,}37\%, \quad Q = 98{,}00\%, \quad OEE = \frac{343}{450} \approx 76{,}22\%} |
LUMINA_EXP_00281 | Kenegaraan & Kebijakan Fiskal | Analisis Beban Bobot Mati Pajak (Deadweight Loss) Segitiga Harberger | short | Pasar bahan bakar minyak memiliki kurva permintaan $Q_D = 100 - P$ dan kurva penawaran $Q_S = 2P - 20$, di mana harga $P$ dalam ribuan rupiah per liter dan kuantitas $Q$ dalam juta liter per bulan. Pemerintah menetapkan kebijakan pajak cukai spesifik sebesar $t = \text{Rp } 6.000,00$ per liter ($t = 6$).
1. Tentukan ha... | Kita membedah analisis ekonomi kesejahteraan publik mengenai distorsi pajak komoditas dan beban bobot mati (Harberger Triangle, 1964).
1. Keseimbangan Pasar Sebelum Pajak:
Fungsi permintaan dan penawaran awal:
$$Q_D = 100 - P$$
$$Q_S = 2P - 20$$
Kondisi ekuilibrium pasar: $Q_D = Q_S$:
$$100 - P = 2P - 20 \implies 3P =... | def harberger_deadweight_loss():
# Keseimbangan awal: 100 - P = 2P - 20 => 3P = 120
p0 = 120 / 3
q0 = 100 - p0
t = 6.0
# Keseimbangan setelah pajak: 100 - (Ps + t) = 2Ps - 20 => 3Ps = 114
ps = 114.0 / 3
pb = ps + t
qt = 100.0 - pb
delta_q = q0 - qt
tax_revenue = t * qt ... | Awal: P0 = Rp 40 ribu, Q0 = 60 juta liter
Setelah Pajak: Pb = Rp 44 ribu, Ps = Rp 38 ribu, Qt = 56 juta liter
Penerimaan Pajak: Rp 336 miliar, Deadweight Loss: Rp 12 miliar | Kalkulasi keseimbangan pasar membuktikan Pb = 44, Ps = 38, Qt = 56 juta liter, penerimaan pajak Rp 336 miliar, dan DWL Harberger sebesar Rp 12 miliar. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Keseimbangan Pasar Sebelum Pajak:**
$$100 - P = 2P - 20 \implies 3P = 120 \implies P_0 = 40\text{ ribu}, \quad Q_0 = 60\text{ juta liter}$$
2. **Keseimbangan Pasar Setelah Pajak ($t = 6$):**
$$P_b = P_s + 6$$
$$100 - (P_s + 6) = 2P_s - 20 \implies 3P_s = 114 \implies P_s = 38\te... | Pb = 44, Ps = 38, Qt = 56, T = Rp 336 miliar, DWL = Rp 12 miliar | \boxed{P_b = 44, \; P_s = 38, \; Q_t = 56, \quad T = \text{Rp } 336\text{ miliar}, \quad DWL = \text{Rp } 12\text{ miliar}} |
LUMINA_EXP_00282 | Kenegaraan & Kebijakan Fiskal | Dinamika Rasio Utang Publik terhadap PDB dan Kondisi Stabilitas Domar | short | Rasio utang publik pemerintah terhadap Produk Domestik Bruto (PDB) suatu negara saat ini adalah $d_0 = 60\% = 0{,}60$. Suku bunga riil efektif pinjaman utang pemerintah adalah $r = 5\% = 0{,}05$ per tahun, dan laju pertumbuhan ekonomi riil adalah $g = 3\% = 0{,}03$ per tahun. Pemerintah menjalankan defisit anggaran pri... | Kita menelaah keberlanjutan fiskal makroekonomi (Fiscal Sustainability) dan Kondisi Stabilitas Domar (Evsey Domar, 1944).
1. Persamaan Diferensi Dinamika Utang Publik:
Misalkan $B_t$ adalah total utang nominal dan $Y_t$ adalah PDB nominal.
Rasio utang terhadap PDB didefinisikan sebagai $d_t = \frac{B_t}{Y_t}$.
Penurun... | def domar_debt_dynamics():
d0 = 0.60
r = 0.05
g = 0.03
p = 0.015
delta_d1 = (r - g) * d0 + p
d1 = d0 + delta_d1
# Kondisi stabil delta_d = 0 => (r - g) * d0 - surplus = 0
surplus_star = (r - g) * d0
assert abs(delta_d1 - 0.027) < 1e-9
assert abs(d1 - 0.627) < 1e-9
... | Perubahan Rasio Utang Tahun 1: +2.70% PDB
Rasio Utang Akhir Tahun 1: 62.70% PDB
Surplus Primer Penstabil Wajib: +1.20% PDB | Persamaan Domar mengonfirmasi kenaikan utang tahun pertama sebesar +2.7% menjadi 62.7% PDB, dan menuntut surplus primer minimal 1.2% PDB untuk stabilisasi. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Perubahan Rasio Utang Tahun Pertama ($\Delta d_1$):**
$$\Delta d_1 = (r - g)d_0 + p = (0{,}05 - 0{,}03)(0{,}60) + 0{,}015$$
$$\Delta d_1 = (0{,}02)(0{,}60) + 0{,}015 = 0{,}012 + 0{,}015 = +0{,}027 \implies +2{,}7\%\text{ PDB}$$
$$d_1 = 60\% + 2{,}7\% = 62{,}7\%\text{ PDB}$$
2. *... | Delta d1 = +2.7%, d1 = 62.7%, Surplus Penstabil = +1.2% PDB | \boxed{\Delta d_1 = +2{,}7\%\text{ PDB}, \quad d_1 = 62{,}7\%\text{ PDB}, \quad s^* = +1{,}2\%\text{ PDB (Surplus)}} |
LUMINA_EXP_00283 | Kenegaraan & Kebijakan Fiskal | Pengukuran Ketimpangan Pendapatan Kurva Lorenz dan Koefisien Gini | short | Berdasarkan survei sosial ekonomi nasional, distribusi pendapatan rumah tangga dikelompokkan ke dalam 5 kuintil populasi dengan data pangsa kumulatif penduduk ($x$) dan pangsa kumulatif pendapatan ($y$) sebagai berikut:
- Titik 0: $x_0 = 0{,}00, \; y_0 = 0{,}00$
- Kuintil 1 (20% termiskin): $x_1 = 0{,}20, \; y_1 = 0{,}... | Kita menganalisis pengukuran ketimpangan pendapatan ekonomi pembangunan (Corrado Gini, 1912) melalui integrasi numerik Kurva Lorenz.
1. Definisi Geometris Koefisien Gini:
Pada diagram Kurva Lorenz:
- Garis diagonal $y = x$ mewakili pemerataan sempurna (*line of perfect equality*), dengan total luas segitiga di bawahny... | def gini_coefficient_lorenz():
y = [0.00, 0.06, 0.16, 0.30, 0.52, 1.00]
dx = 0.20
# Luas trapesium
b_area = sum(0.5 * (y[i-1] + y[i]) * dx for i in range(1, len(y)))
gini = 1.0 - 2.0 * b_area
category = "Ketimpangan Sedang" if 0.30 <= gini <= 0.40 else "Lainnya"
assert abs(b_a... | Luas Area Bawah Kurva Lorenz (B): 0.308
Koefisien Gini (G): 0.384
Klasifikasi Bank Dunia: Ketimpangan Sedang | Integrasi trapesium membuktikan luas area Lorenz B = 0.308 dan Koefisien Gini bernilai 0.384 (kategori Ketimpangan Sedang). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Integrasi Luas di Bawah Kurva Lorenz ($B$):**
$$B_1 = 0{,}10 \times (0{,}00 + 0{,}06) = 0{,}006$$
$$B_2 = 0{,}10 \times (0{,}06 + 0{,}16) = 0{,}022$$
$$B_3 = 0{,}10 \times (0{,}16 + 0{,}30) = 0{,}046$$
$$B_4 = 0{,}10 \times (0{,}30 + 0{,}52) = 0{,}082$$
$$B_5 = 0{,}10 \time... | B = 0.308, G = 0.384, Ketimpangan Sedang | \boxed{B = 0{,}308, \quad G = 0{,}384, \quad \text{Ketimpangan Sedang}} |
LUMINA_EXP_00284 | Kenegaraan & Ekonomi Internasional | Kondisi Marshall-Lerner dan Efek Depresiasi Kurs Neraca Perdagangan | short | Suatu perekonomian terbuka mengalami defisit neraca perdagangan berjalan. Nilai tukar mata uang domestik terdepresiasi sebesar $5\%$ ($\hat{e} = +0{,}05$). Estimasi empiris elastisitas harga permintaan ekspor terhadap nilai tukar riil adalah $\epsilon_x = 0{,}75$, dan elastisitas harga permintaan impor adalah $\epsilon... | Kita membedah ekonomi moneter internasional mengenai dampak penyesuaian nilai tukar terhadap neraca perdagangan (Marshall-Lerner Condition & J-Curve Effect).
1. Kondisi Teoretis Marshall-Lerner:
Kondisi Marshall-Lerner menyatakan bahwa depresiasi mata uang riil akan memperbaiki neraca perdagangan jika dan hanya jika j... | def marshall_lerner_evaluation():
eps_x = 0.75
eps_m = 0.45
depreciation = 0.05
initial_trade = 100.0 # miliar USD
ml_sum = eps_x + eps_m
is_satisfied = ml_sum > 1.0
delta_nx_pct = (ml_sum - 1.0) * depreciation
delta_nx_usd = delta_nx_pct * initial_trade
assert ml_sum... | Jumlah Elastisitas: eps_x + eps_m = 1.20 (Memenuhi Marshall-Lerner: True)
Perubahan Neraca Perdagangan (Delta NX): +$1.00 miliar USD (Surplus) | Evaluasi Marshall-Lerner mengonfirmasi jumlah elastisitas 1.20 > 1 dan depresiasi 5% menghasilkan surplus perdagangan bersih sebesar +$1.0 miliar USD. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Uji Kondisi Marshall-Lerner:**
$$\epsilon_x + \epsilon_m = 0{,}75 + 0{,}45 = 1{,}20 > 1$$
Kondisi terpenuhi, depresiasi efektif memperbaiki neraca perdagangan.
2. **Perhitungan Perubahan Saldo Neraca Perdagangan ($\Delta NX$):**
$$\Delta NX \approx X_0 \times (\epsilon_x + \epsi... | Terpenuhi (1.20 > 1), Delta NX = +$1.0 miliar | \boxed{\epsilon_x + \epsilon_m = 1{,}20 > 1 \text{ (Terpenuhi)}, \quad \Delta NX = +\$1{,}0\text{ miliar (Surplus)}} |
LUMINA_EXP_00285 | Kenegaraan & Kebijakan Fiskal | Keseimbangan Simultan Makroekonomi IS-LM dan Efek Crowding-Out | short | Struktur makroekonomi suatu negara dimodelkan oleh sistem persamaan IS-LM berikut:
- Sektor Riil (Kurva IS): $C = 200 + 0{,}8(Y - T)$, $I = 300 - 20r$, $G = 200$, $T = 100$
- Sektor Moneter (Kurva LM): Permintaan uang riil $M_d/P = 0{,}25Y - 10r$, Penawaran uang riil $M_s/P = 250$
(Pendapatan nasional $Y$ dan belanja d... | Kita membedah sintesis neoklasik model IS-LM (John Hicks, 1937 & Alvin Hansen) untuk menentukan keseimbangan simultan pasar barang dan pasar uang.
1. Penurunan Persamaan Kurva IS:
Keseimbangan pasar barang: $Y = C + I + G$
$$Y = [200 + 0{,}8(Y - 100)] + [300 - 20r] + 200$$
$$Y = 200 + 0{,}8Y - 80 + 300 - 20r + 200$$
$... | from fractions import Fraction
def is_lm_equilibrium():
# IS: Y = 3100 - 100r
# LM: Y = 1000 + 40r
# 3100 - 100r = 1000 + 40r => 140r = 2100
r_star = Fraction(2100, 140)
y_star = 1000 + 40 * r_star
# Delta G = 50 => IS baru: Y = 3350 - 100r
# 3350 - 100r = 1000 + 40r => 140r = 2350
... | Keseimbangan Awal: r* = 15% , Y* = Rp 1600 triliun
Keseimbangan Baru (Delta G=50): r = 16.79%, Y = Rp 1671.43 triliun (Delta Y = +Rp 71.43 triliun) | Sistem IS-LM membuktikan keseimbangan awal r* = 15% dan Y* = Rp 1600 triliun, serta keseimbangan baru r = 16.79% dan Y = Rp 1671.43 triliun. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Penurunan Persamaan Kurva IS dan LM:**
- **Kurva IS:**
$$Y = 200 + 0{,}8(Y - 100) + 300 - 20r + 200 \implies 0{,}2Y = 620 - 20r \implies Y = 3.100 - 100r$$
- **Kurva LM:**
$$0{,}25Y - 10r = 250 \implies Y = 1.000 + 40r$$
2. **Keseimbangan Simultan Awal ($r^*, Y^*$):**
... | r* = 15%, Y* = 1600 triliun, r_baru = 16.79%, Y_baru = 1671.43 triliun | \boxed{r^* = 15\%, \; Y^* = 1.600, \quad r_{\text{baru}} \approx 16{,}79\%, \; Y_{\text{baru}} \approx 1.671{,}43\text{ triliun}} |
LUMINA_EXP_00286 | Kenegaraan & Kebijakan Fiskal | Formula Transfer Celah Fiskal dan Alokasi Dana Perataan Daerah | short | Berdasarkan formula perimbangan transfer keuangan daerah (Dana Alokasi Umum - DAU), besaran alokasi dana ditentukan oleh Celah Fiskal ($CF = KB - PB$), di mana Kebutuhan Fiskal ($KB$) dihitung berdasarkan bobot komposit empat indikator:
$$KB = \text{Rata-rata Belanja Daerah} \times [0{,}30(IP) + 0{,}25(IL) + 0{,}25(IKM... | Kita membedah sistem desentralisasi fiskal dan formula perataan celah fiskal daerah (Fiscal Equalization Gap).
1. Konsep Celah Fiskal (Fiscal Gap):
Tujuan transfer perataan fiskal adalah mengurangi ketimpangan fiskal horizontal antardaerah.
- Kebutuhan Fiskal ($KB$): Estimasi kebutuhan pengeluaran riil daerah untuk me... | def fiscal_equalization_gap():
base_spending = 800.0 # miliar
ip = 1.20
il = 0.80
ikm = 1.40
ikk = 1.10
pb = 250.0 # miliar
composite_weight = 0.30 * ip + 0.25 * il + 0.25 * ikm + 0.20 * ikk
kb = base_spending * composite_weight
fiscal_gap = kb - pb
assert abs(composi... | Bobot Komposit Kebutuhan Fiskal: 1.13
Kebutuhan Fiskal (KB): Rp 904 miliar
Celah Fiskal (CF / Alokasi DAU): Rp 654 miliar | Formula transfer fiskal menghasilkan bobot komposit 1.13, kebutuhan fiskal Rp 904 miliar, dan alokasi transfer DAU sebesar Rp 654 miliar. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Bobot Komposit Kebutuhan Fiskal:**
$$W = (0{,}30 \times 1{,}20) + (0{,}25 \times 0{,}80) + (0{,}25 \times 1{,}40) + (0{,}20 \times 1{,}10)$$
$$W = 0{,}36 + 0{,}20 + 0{,}35 + 0{,}22 = 1{,}13$$
2. **Kebutuhan Fiskal ($KB$):**
$$KB = 800\text{ miliar} \times 1{,}13 = 904\text{ mili... | Bobot = 1.13, KB = Rp 904 miliar, DAU = Rp 654 miliar | \boxed{\text{Bobot Komposit} = 1{,}13, \quad KB = \text{Rp } 904\text{ miliar}, \quad CF = \text{Rp } 654\text{ miliar}} |
LUMINA_EXP_00287 | Kenegaraan & Keuangan Internasional | Hukum Satu Harga dan Paritas Daya Beli (PPP) Indeks Big Mac | short | Di Amerika Serikat, harga sebuah burger Big Mac adalah $P_{\text{US}} = \$5{,}80$. Di Indonesia, harga burger yang sama persis adalah $P_{\text{ID}} = \text{Rp } 43.500,00$. Nilai tukar pasar aktual saat ini adalah $E = \text{Rp } 15.000,00/\$$.
1. Hitung nilai tukar paritas daya beli implisit (*Implied PPP Exchange Ra... | Kita meneliti teori paritas daya beli internasional (Purchasing Power Parity - Gustav Cassel, 1918) dan model empiris Indeks Big Mac The Economist.
1. Nilai Tukar Implisit Paritas Daya Beli Absolut (Absolute PPP):
Hukum Satu Harga menyatakan bahwa sekeranjang barang identik bebas hambatan perdagangan seharusnya berhar... | def big_mac_ppp_analysis():
p_us = 5.80
p_id = 43500.0
e_market = 15000.0
# 1. Implied PPP
e_ppp = p_id / p_us
# 2. Undervaluation
underval = (e_ppp - e_market) / e_market
# 3. Relative PPP
inf_id = 0.05
inf_us = 0.03
deprec_rate = inf_id - inf_us
asse... | Kurs Implisit PPP: Rp 7,500/$
Derajat Undervaluasi Rupiah: -50.0%
Proyeksi Depresiasi Relatif: +2.0% per tahun | Analisis PPP membuktikan kurs implisit Rp 7.500/$, undervaluasi pasar sebesar -50.0%, dan laju depresiasi inflasi relatif adalah +2.0% per tahun. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Kurs Implisit Paritas Daya Beli ($E_{\text{PPP}}$):**
$$E_{\text{PPP}} = \frac{43.500\text{ rupiah}}{5{,}80\text{ dolar}} = \text{Rp } 7.500,00/\$$$
2. **Tingkat Undervaluasi Pasar:**
$$\text{Deviasi} = \frac{E_{\text{PPP}} - E}{E} = \frac{7.500 - 15.000}{15.000} = -0{,}50 \implies... | E_PPP = Rp 7.500/$, Undervaluasi = -50.0%, Depresiasi = +2.0% | \boxed{E_{\text{PPP}} = \text{Rp } 7.500,00/\$, \quad \text{Undervaluasi} = -50{,}0\%, \quad \text{Depresiasi Relatif} = +2{,}0\%} |
LUMINA_EXP_00288 | Kenegaraan & Kebijakan Fiskal | Analisis Penghematan Belanja Subsidi Energi dan Elastisitas Konsumsi | short | Biaya Pokok Penyediaan (BPP) listrik nasional adalah Rp 1.500,00 per kWh. Pemerintah menetapkan tarif listrik bersubsidi untuk golongan rumah tangga 900 VA sebesar Rp 1.050,00 per kWh (subsidi Rp 450,00/kWh). Total konsumsi listrik tahunan golongan ini adalah $40\text{ miliar kWh}$ per tahun. Pemerintah berencana menai... | Kita membedah analisis belanja fiskal subsidi energi dan respons elastisitas permintaan konsumen dalam reformasi kebijakan publik.
1. Kondisi Awal Subsidi Energi:
- Biaya Pokok Penyediaan (BPP): Rp 1.500 per kWh.
- Tarif bersubsidi awal: $P_0 = \text{Rp } 1.050$ per kWh.
- Besaran subsidi per kWh:
$$s_0 = BPP - P_0 = ... | def electricity_subsidy_reform():
bpp = 1500.0
p0 = 1050.0
q0 = 40.0 * 1e9 # kWh
sub0_unit = bpp - p0
sub0_total = sub0_unit * q0 # Rupiah
# Kenaikan 20%
dp_pct = 0.20
p1 = p0 * (1.0 + dp_pct)
elasticity = -0.40
dq_pct = elasticity * dp_pct
q1 = q0 * (1.0 + dq_pct... | Beban Subsidi Awal: Rp 18.000 triliun
Konsumsi Baru (-8%): 36.80 miliar kWh
Beban Subsidi Baru: Rp 8.832 triliun
Penghematan APBN: Rp 9.168 triliun | Simulasi subsidi membuktikan beban awal Rp 18 triliun turun menjadi Rp 8.832 triliun, menghasilkan penghematan fiskal Rp 9.168 triliun. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Beban Subsidi APBN Awal:**
- Subsidi per kWh: $1.500 - 1.050 = 450\text{ rupiah/kWh}$
- Total awal: $450 \times 40 \times 10^9 = \text{Rp } 18{,}0\text{ triliun}$
2. **Respons Permintaan Konsumen (Kenaikan Tarif 20%):**
- Tarif baru: $1.050 \times 1{,}20 = \text{Rp } 1.260\text{... | Subsidi Awal = Rp 18 T, Subsidi Baru = Rp 8.832 T, Penghematan = Rp 9.168 T | \boxed{\text{Subsidi Awal} = \text{Rp } 18{,}0\text{ T}, \quad \text{Subsidi Baru} = \text{Rp } 8{,}832\text{ T}, \quad \text{Penghematan} = \text{Rp } 9{,}168\text{ T}} |
LUMINA_EXP_00289 | Kenegaraan & Teori Kebijakan Fiskal | Teorema Multiplier Anggaran Berimbang Haavelmo dan Output Nasional | short | Dalam analisis makroekonomi Keynesian perekonomian tertutup dengan fungsi konsumsi linier $C = C_0 + c(Y - T)$, kecenderungan mengonsumsi marjinal adalah $c = 0{,}75$. Pemerintah memutuskan untuk meningkatkan belanja pengadaan infrastruktur nasional sebesar $\Delta G = \text{Rp } 100\text{ triliun}$, dan mendanai selur... | Kita meninjau Teorema Anggaran Berimbang Trygve Haavelmo (Pemenang Nobel Ekonomi 1989) mengenai efek stimulasi belanja pemerintah yang dibiayai penuh oleh pajak.
1. Penurunan Aljabar Multiplier Anggaran Berimbang:
Persamaan pendapatan nasional:
$$Y = C + I + G$$
Fungsi konsumsi: $C = C_0 + c(Y - T)$, dengan $I$ konsta... | def haavelmo_multiplier():
c = 0.75
delta_g = 100.0 # triliun
delta_t = 100.0
# Pengganda belanja G
k_g = 1.0 / (1.0 - c)
# Pengganda pajak T
k_t = -c / (1.0 - c)
# Pengganda gabungan BBM
k_bbm = k_g + k_t
delta_y = k_bbm * delta_g
delta_yd = delta_y - delta_t... | Koefisien Haavelmo (BBM): 1.0
Kenaikan Pendapatan Nasional (Delta Y): Rp 100 triliun
Dampak Bersih Konsumsi Swasta (Delta C): Rp 0 triliun (Netral) | Teorema Haavelmo terbukti matematis dengan koefisien k = 1.0, menghasilkan ekspansi output Rp 100 triliun dengan konsumsi swasta netral. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Pembuktian Teorema Anggaran Berimbang Haavelmo:**
$$\Delta Y = \frac{1}{1 - c}\Delta G - \frac{c}{1 - c}\Delta T$$
Karena $\Delta G = \Delta T$:
$$\Delta Y = \frac{1 - c}{1 - c}\Delta G = 1 \times \Delta G \implies k_{\text{bbm}} = 1$$
2. **Perubahan Pendapatan Nasional ($\Delta... | k_bbm = 1, Delta Y = Rp 100 triliun, Delta C = 0 | \boxed{k_{\text{bbm}} = 1, \quad \Delta Y = \text{Rp } 100\text{ triliun}, \quad \Delta C = 0} |
LUMINA_EXP_00290 | Kenegaraan & Kebijakan Moneter | Kurva Phillips dengan Ekspektasi Adaptif dan Tingkat Pengangguran Alami NAIRU | short | Kurva Phillips dengan ekspektasi adaptif dirumuskan sebagai:
$$\pi_t = \pi_t^e - 0{,}50(u_t - u_n)$$
di mana tingkat pengangguran alami non-akselerasi inflasi (*Non-Accelerating Inflation Rate of Unemployment* - NAIRU) adalah $u_n = 5{,}0\%$. Ekspektasi inflasi masyarakat terbentuk secara adaptif berdasarkan inflasi pe... | Kita menganalisis Kurva Phillips dengan ekspektasi (Friedman-Phelps, 1968) dan konsep tingkat pengangguran alamiah (NAIRU).
1. Karakteristik Model:
- Persamaan Kurva Phillips Jangka Pendek:
$$\pi_t = \pi_t^e - \beta (u_t - u_n)$$
Parameter: $\beta = 0{,}50$, $u_n = 5{,}0\%$.
- Aturan ekspektasi adaptif: $\pi_t^e = \pi... | def phillips_curve_nairu():
u_n = 5.0
beta = 0.50
pi_0 = 4.0
# Tahun 1
u1 = 3.0
pi1_e = pi_0
pi1 = pi1_e - beta * (u1 - u_n)
# Tahun 2
u2 = 3.0
pi2_e = pi1
pi2 = pi2_e - beta * (u2 - u_n)
assert pi1 == 5.0
assert pi2 == 6.0
return pi1, pi2, u_n
if ... | Inflasi Tahun 1 (u=3%): 5.0%
Inflasi Tahun 2 (u=3%): 6.0% (Akselerasi terus berlanjut)
Tingkat NAIRU Vertikal Jangka Panjang: u = 5.0% | Kurva Phillips membuktikan inflasi naik ke 5.0% di tahun 1 dan berakselerasi ke 6.0% di tahun 2, dengan kurva jangka panjang vertikal pada NAIRU 5.0%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Inflasi Tahun Pertama ($t = 1$):**
$$\pi_1 = \pi_0 - 0{,}50(u_1 - u_n) = 4{,}0 - 0{,}50(3{,}0 - 5{,}0) = 4{,}0 + 1{,}0 = 5{,}0\%$$
2. **Inflasi Tahun Kedua ($t = 2$):**
Ekspektasi beradaptasi menjadi $\pi_2^e = 5{,}0\%$:
$$\pi_2 = 5{,}0 - 0{,}50(3{,}0 - 5{,}0) = 5{,}0 + 1{,}0 = ... | pi_1 = 5.0%, pi_2 = 6.0%, NAIRU = 5.0% | \boxed{\pi_1 = 5{,}0\%, \quad \pi_2 = 6{,}0\%, \quad \text{NAIRU Vertikal } u_n = 5{,}0\%} |
LUMINA_EXP_00291 | Hukum & Yurisprudensi Kuantitatif | Kalkulasi Ganti Rugi Immateriil Pain and Suffering Metode Multiplier vs Per Diem | short | Seorang korban kecelakaan lalu lintas mengalami cedera patah tulang dan menjalani masa perawatan medis selama 180 hari. Total kerugian materiil nyata (*economic / special damages*) berupa tagihan rumah sakit, operasi, dan fisioterapi berjumlah $SD = \text{Rp } 80.000.000,00$.
Dalam yurisprudensi gugatan ganti rugi perd... | Kita membedah formulasi kuantitatif perhitungan kompensasi kerugian non-ekonomis (immateriil / pain and suffering) dalam hukum perbuatan melawan hukum (tort damages).
1. Identifikasi Kerugian Materiil (Special Damages - $SD$):
Biaya medis nyata yang terdokumentasi:
$$SD = \text{Rp } 80.000.000,00$$
2. Metode Multipli... | def pain_and_suffering_damages():
special_damages = 80000000
# 1. Multiplier
multiplier = 3.5
gd_multiplier = int(multiplier * special_damages)
total_multiplier = special_damages + gd_multiplier
# 2. Per Diem
days = 180
daily_rate = 250000
residual = 100000000
gd_per_di... | Total Metode Multiplier: Rp 360,000,000
Total Metode Per Diem: Rp 225,000,000
Selisih Tuntutan: Rp 135,000,000 | Kalkulasi ganti rugi membuktikan total Multiplier Rp 360.000.000, total Per Diem Rp 225.000.000, dengan selisih Rp 135.000.000. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Metode Multiplier ($M = 3{,}5$):**
- Kerugian Immateriil: $3{,}5 \times \text{Rp } 80.000.000 = \text{Rp } 280.000.000,00$
- Total Kompensasi: $80.000.000 + 280.000.000 = \text{Rp } 360.000.000,00$
2. **Metode Per Diem:**
- Kompensasi Harian: $180 \times 250.000 = \text{Rp } 45.... | Multiplier = Rp 360 juta, Per Diem = Rp 225 juta, Selisih = Rp 135 juta | \boxed{\text{Multiplier: Rp } 360.000.000, \quad \text{Per Diem: Rp } 225.000.000, \quad \text{Selisih: Rp } 135.000.000} |
LUMINA_EXP_00292 | Hukum & Yurisprudensi Kuantitatif | Doktrin Tanggung Jawab Komparatif Pure vs Modified 51% Bar Rule | short | Dalam peristiwa kecelakaan tabrakan lalu lintas di persimpangan jalan raya, Pengemudi A (Penggugat) menderita kerugian sebesar Rp 200.000.000,00 dan Pengemudi B (Tergugat) menderita kerugian sebesar Rp 100.000.000,00. Majelis hakim berdasarkan pembuktian menetapkan proporsi kontribusi kesalahan kelalaian (*comparative ... | Kita meneliti doktrin tanggung jawab perdata perbandingan kelalaian (Comparative Fault/Negligence) dalam hukum perbuatan melawan hukum modern.
1. Prinsip Doktrin Tanggung Jawab Komparatif:
Kerugian yang dapat dituntut oleh suatu pihak dikurangi secara proporsional sesuai persentase kontribusi kesalahannya sendiri:
$$\... | def comparative_negligence_damages():
damages_a = 200000000
damages_b = 100000000
# Kasus 1: A=40%, B=60%
fault_a1 = 0.40
fault_b1 = 0.60
# Pure
rec_a_pure = (1.0 - fault_a1) * damages_a
rec_b_pure = (1.0 - fault_b1) * damages_b
net_a_pure = rec_a_pure - rec_b_pure
... | Kompensasi Bersih A (Pure): Rp 80,000,000
Kompensasi Bersih A (Modified): Rp 120,000,000
Kompensasi A jika Lalai 55%: Rp 0 (Gugur Total) | Yurisprudensi kelalaian membuktikan kompensasi bersih A adalah Rp 80 juta (Pure), Rp 120 juta (Modified 51%), dan Rp 0 jika kelalaian A mencapai 55%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Doktrin *Pure Comparative Negligence*:**
- Hak Penggugat A (beban B 60%): $0{,}60 \times 200.000.000 = \text{Rp } 120.000.000,00$
- Hak Tergugat B (beban A 40%): $0{,}40 \times 100.000.000 = \text{Rp } 40.000.000,00$
- Kompensasi Bersih A: $120.000.000 - 40.000.000 = \text{Rp } 8... | Pure = Rp 80 juta, Modified = Rp 120 juta, Kasus 55% = Rp 0 | \boxed{\text{Pure: Rp } 80.000.000, \quad \text{Modified: Rp } 120.000.000, \quad \text{Kasus 55\%: Rp } 0} |
LUMINA_EXP_00293 | Hukum & Yurisprudensi Kuantitatif | Kewajiban Mitigasi Kerugian (Duty to Mitigate) Wanprestasi Sewa Komersial | short | Penyewa membatalkan sepihak kontrak sewa ruang ruko berjangka 2 tahun (24 bulan) dengan tarif sewa Rp 15.000.000,00 per bulan tepat pada akhir bulan ke-6 (sisa 18 bulan sewa bernilai Rp 270.000.000,00). Berdasarkan asas hukum kewajiban mitigasi kerugian (*duty to mitigate damages*), pemilik ruko wajib melakukan upaya w... | Kita menganalisis doktrin hukum kontrak mengenai kewajiban mitigasi kerugian (Duty to Mitigate Damages - Restatement Second of Contracts § 350).
1. Prinsip Hukum Mitigasi Kerugian Kontrak:
Pihak yang dirugikan oleh wanprestasi tidak berhak menuntut ganti rugi atas kerugian yang sebenarnya dapat dihindari melalui upaya... | def contract_mitigation_damages():
original_rent = 15000000
new_rent = 14000000
vacant_months = 4
new_tenant_months = 14
ad_cost = 5000000
vacancy_loss = vacant_months * original_rent
rent_deficiency = new_tenant_months * (original_rent - new_rent)
total_claim = vacancy_loss + rent_... | Uang Sewa Hilang (4 bulan): Rp 60,000,000
Defisiensi Sewa (14 bulan): Rp 14,000,000
Total Ganti Rugi Sah: Rp 79,000,000 | Kalkulasi mitigasi kontrak mengonfirmasi kerugian sewa kosong Rp 60 juta, defisiensi tarif Rp 14 juta, dan total ganti rugi sah sebesar Rp 79 juta. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Kerugian Sewa Selama Kekosongan (4 bulan):**
$$L_1 = 4 \times \text{Rp } 15.000.000 = \text{Rp } 60.000.000,00$$
2. **Defisiensi Tarif Sewa (14 bulan tersisa):**
$$L_2 = 14 \times (15.000.000 - 14.000.000) = 14 \times 1.000.000 = \text{Rp } 14.000.000,00$$
3. **Total Ganti Rugi ya... | Sewa Kosong = Rp 60 juta, Defisiensi = Rp 14 juta, Total = Rp 79 juta | \boxed{\text{Sewa Kosong: Rp } 60.000.000, \quad \text{Defisiensi: Rp } 14.000.000, \quad \text{Total Ganti Rugi: Rp } 79.000.000} |
LUMINA_EXP_00294 | Hukum & Yurisprudensi Kuantitatif | Nilai Sekarang (PV) Ganti Rugi Hilangnya Pendapatan Masa Depan | short | Seorang insinyur profesional berusia 35 tahun mengalami kecelakaan kerja akibat kelalaian sistem kontraktor yang menyebabkan cacat total permanen sehingga kehilangan kapasitas bekerja sepenuhnya hingga usia pensiun 60 tahun (sisa masa kerja 25 tahun). Gaji tahunan bersih saat ini adalah $Y_0 = \text{Rp } 240.000.000,00... | Kita membedah analisis aktuarial hukum finansial forensik mengenai perhitungan nilai sekarang dari kehilangan penghasilan masa depan (Loss of Future Earning Capacity).
1. Formulasi Nilai Tunai Anuitas Bertumbuh (Growing Annuity PV):
Penghasilan pada tahun ke-$t$ bertumbuh dengan laju $g$:
$$Y_t = Y_0 (1 + g)^t$$
Nilai... | def loss_of_future_earnings():
y0 = 240000000.0
g = 0.02
r = 0.05
n = 25
# PV = sum_{t=1}^{n} y0 * ((1+g)/(1+r))^t
ratio = (1.0 + g) / (1.0 + r)
pv = sum(y0 * (ratio**t) for t in range(1, n + 1))
nominal = n * y0
difference = nominal - pv
assert abs(pv - 4206679940... | Nilai Tunai PV (Lump-Sum): Rp 4,206,679,940.98
Nilai Nominal Tanpa Diskonto: Rp 6,000,000,000.00
Selisih Reduksi Diskonto: Rp 1,793,320,059.02 | Kalkulasi aktuaria diskonto menghasilkan nilai tunai PV Rp 4.206.679.940,98 dengan penghematan diskonto Rp 1.793.320.059,02. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Rasio Diskonto Riil Bersih ($k$):**
$$k = \frac{1 + g}{1 + r} = \frac{1{,}02}{1{,}05} = \frac{34}{35} \approx 0{,}9714$$
2. **Perhitungan Nilai Tunai (Present Value):**
$$PV = Y_0 \sum_{t=1}^{25} \left(\frac{34}{35}\right)^t = 240.000.000 \times 34 \left[1 - \left(\frac{34}{35}\rig... | PV = Rp 4.206.679.940,98, Nominal = Rp 6.0 Miliar | \boxed{PV = \text{Rp } 4.206.679.940{,}98, \quad \text{Nominal} = \text{Rp } 6{,}0\text{ Miliar}, \quad \text{Selisih} = \text{Rp } 1{,}793\text{ Miliar}} |
LUMINA_EXP_00295 | Hukum & Pembuktian Peradilan | Standar Probabilitas Hukum Preponderance vs Clear and Reasonable Doubt | short | Dalam pembuktian perkara persidangan perdata komersial pembajakan teknologi rahasia dagang, Penggugat mengajukan tiga alat bukti independen: Bukti Forensik Digital ($E_1$), Bukti Kesaksian Karyawan ($E_2$), dan Bukti Jejak Log Server ($E_3$). Berdasarkan kredibilitas masing-masing bukti secara terpisah, peluang kesalah... | Kita menelaah hukum pembuktian peradilan kuantitatif (Quantitative Standards of Proof & Evidentiary Probability).
1. Tiga Standar Pembuktian Baku dalam Yurisprudensi:
- *Preponderance of the Evidence* (Perdata Umum): Ambang batas $P > 50\%$ (lebih mungkin benar daripada tidak).
- *Clear and Convincing Evidence* (Perda... | def legal_standards_of_proof():
q1 = 0.30
q2 = 0.40
q3 = 0.35
q_combined = q1 * q2 * q3
p_proven = 1.0 - q_combined
meets_preponderance = p_proven > 0.50
meets_clear_convincing = p_proven >= 0.75
meets_reasonable_doubt = p_proven >= 0.95
assert abs(q_combined - 0.042) ... | Probabilitas Gabungan: 95.80%
Preponderance of the Evidence (>50%): True
Clear and Convincing Evidence (>=75%): True
Beyond a Reasonable Doubt (>=95%): True | Probabilitas pembuktian gabungan mencapai 95.80% yang meloloskan Preponderance (>50%), Clear and Convincing (>=75%), serta Beyond Reasonable Doubt (>=95%). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Probabilitas Kumulatif Pembuktian:**
Peluang seluruh bukti salah serentak:
$$q_{\text{gabungan}} = 0{,}30 \times 0{,}40 \times 0{,}35 = 0{,}042$$
Probabilitas fakta terbukti:
$$P = 1 - 0{,}042 = 0{,}958 = 95{,}80\%$$
2. **Evaluasi Standar Pembuktian:**
- *Preponderance of ... | P = 95.80%, Memenuhi Ketiga Standar | \boxed{P = 95{,}80\%, \quad \text{Memenuhi Ketiga Standar (Preponderance, Clear, dan Reasonable Doubt)}} |
LUMINA_EXP_00296 | Hukum & Kepailitan Korporasi | Hierarki Prioritas Pembayaran Kreditor Kepailitan dan Distribusi Pro-Rata | short | Sebuah perseroan terbatas dinyatakan pailit oleh Pengadilan Niaga dengan total hasil likuidasi aset bersih sebesar Rp 500.000.000,00. Tagihan kreditor terverifikasi terdiri atas:
1. Kreditor Separatis (pemegang Hak Tanggungan atas gudang): Tagihan piutang Rp 300.000.000,00 dengan nilai eksekusi jaminan gudang Rp 250.00... | Kita membedah hierarki prioritas pembayaran piutang kepailitan (Undang-Undang Kepailitan dan Penundaan Kewajiban Pembayaran Utang).
1. Hierarki Prioritas Pembayaran Kepailitan:
- Tingkat 1: Kreditor Separatis (dijamin agunan kebendaan).
- Tingkat 2: Kreditor Preferen Hak Istimewa Tertinggi (Upah pekerja/buruh terutang... | def bankruptcy_distribution():
estate = 500000000
# Preferen
wage_claim = 120000000
tax_claim = 80000000
estate_after_wages = estate - wage_claim
estate_after_tax = estate_after_wages - tax_claim
# Konkuren
concurrent_claims = {
'A': 200000000,
'B': 1500000... | Recovery Rate Konkuren: 75.0%
Pembayaran Pemasok A: Rp 150,000,000
Pembayaran Pemasok B: Rp 112,500,000 | Likuidasi kepailitan membuktikan buruh dan pajak terbayar lunas 100%, sisa Rp 300 juta dibagi pro-rata 75% ke kreditor konkuren (A dapat Rp 150 juta, B dapat Rp 112.5 juta). | ### Langkah Penyelesaian
1. **Pembayaran Kreditor Preferen:**
- Upah Buruh: $\text{Rp } 120.000.000,00$ (Lunas 100%)
- Pajak Negara: $\text{Rp } 80.000.000,00$ (Lunas 100%)
- Sisa untuk Kreditor Konkuren: $500.000.000 - (120.000.000 + 80.000.000) = \text{Rp } 300.000.000,00$
2. **Perhitungan Recovery Rate Kr... | Recovery Rate = 75%, Pemasok A = Rp 150 juta, Pemasok B = Rp 112.5 juta | \boxed{\text{Recovery Rate} = 75\%, \quad \text{Pemasok A} = \text{Rp } 150.000.000, \quad \text{Pemasok B} = \text{Rp } 112.500.000} |
LUMINA_EXP_00297 | Hukum & Hukum Waris Perdata | Kalkulasi Bagian Mutlak Legitieme Portie dan Pemotongan Wasiat Inkorting | short | Seorang pewaris meninggal dunia meninggalkan boedel harta warisan bersih senilai Rp 1.200.000.000,00. Ahli waris ab intestato yang sah terdiri atas 3 orang anak kandung. Sebelum meninggal dunia, pewaris membuat surat wasiat (*testament*) yang menghibahkan dana sebesar Rp 600.000.000,00 kepada sebuah yayasan sosial inde... | Kita menganalisis hukum waris perdata barat (Burgerlijk Wetboek / KUHPerdata) mengenai bagian mutlak ahli waris garis lurus ke bawah (Legitieme Portie) dan pemotongan wasiat (Inkorting).
1. Hukum Waris Ab Intestato (Tanpa Wasiat):
Total harta peninggalan bersih: $H = \text{Rp } 1.200.000.000,00$.
Jumlah anak kandung: ... | def legitieme_portie_calc():
estate = 1200000000
num_children = 3
bequest_to_charity = 600000000
# 1. Ab intestato
ab_intestato_per_child = estate // num_children
# 2. Legitieme Portie (3/4)
lp_total = (3 * estate) // 4
lp_per_child = lp_total // num_children
beschikbaar_de... | Bagian Ab Intestato per Anak: Rp 400,000,000
Legitieme Portie per Anak: Rp 300,000,000
Pemotongan Wasiat (Inkorting): Rp 300,000,000
Hak Akhir Yayasan: Rp 300,000,000 | Pasal 914 KUHPerdata membuktikan Legitieme Portie per anak adalah Rp 300 juta, dan wasiat yayasan dipotong (inkorting) sebesar Rp 300 juta. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Bagian Ab Intestato:**
$$\text{Bagian per Anak} = \frac{1.200.000.000}{3} = \text{Rp } 400.000.000,00$$
2. **Legitieme Portie (Pasal 914 KUHPerdata):**
$$LP_{\text{total}} = \frac{3}{4} \times 1.200.000.000 = \text{Rp } 900.000.000,00$$
$$LP_{\text{per anak}} = \frac{900.000.000... | LP = Rp 300 juta/anak, Inkorting = Rp 300 juta | \boxed{LP = \text{Rp } 300.000.000/\text{anak}, \quad \text{Melanggar Hak Mutlak}, \quad \text{Inkorting} = \text{Rp } 300.000.000} |
LUMINA_EXP_00298 | Hukum & Hukum Kontrak Konstruksi | Klausul Ganti Rugi Keterlambatan Liquidated Damages vs Penalty Clause | short | Kontrak proyek pembangunan pabrik manufaktur senilai Rp 50.000.000.000,00 (50 miliar rupiah) memuat klausul ganti rugi likuidasi keterlambatan (*liquidated damages*) sebesar $1\text{ permil}$ ($0{,}1\%$) per hari keterlambatan dari nilai kontrak, dengan batas pagu penalti maksimum $5\%$ dari nilai kontrak. Kontraktor p... | Kita meninjau doktrin hukum perikatan dan kontrak internasional mengenai klausul ganti rugi yang disepakati di awal (Liquidated Damages vs Penalty Clause).
1. Asas Pengujian Dunlop Pneumatic Tyre Co Ltd v New Garage & Motor Co Ltd (1915):
Hukum kontrak membedakan:
- *Liquidated Damages*: Klausul yang sah dan dapat dip... | def liquidated_damages_calc():
contract_value = 50000000000
daily_rate = 0.001
cap_rate = 0.05
days_late = 40
daily_damages = contract_value * daily_rate
raw_damages = days_late * daily_damages
cap_value = contract_value * cap_rate
final_damages = min(raw_damages, cap_value)
... | Denda per Hari (1 permil): Rp 50,000,000.0
Akumulasi Denda (40 hari): Rp 2,000,000,000.0
Batas Pagu (5% Kontrak): Rp 2,500,000,000.0
Status Hukum: Sah sebagai Liquidated Damages (Enforceable) | Kalkulasi denda kontrak membuktikan total denda 40 hari adalah Rp 2.000.000.000 yang berada di bawah pagu Rp 2.500.000.000 dan sah dieksekusi sebagai Liquidated Damages. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Denda Keterlambatan per Hari:**
$$D_{\text{hari}} = 0{,}1\% \times \text{Rp } 50.000.000.000 = \text{Rp } 50.000.000,00/\text{hari}$$
2. **Akumulasi Denda 40 Hari:**
$$D_{\text{total}} = 40 \times \text{Rp } 50.000.000 = \text{Rp } 2.000.000.000,00$$
3. **Uji Batas Pagu dan Validi... | Denda = Rp 2.000.000.000,00, Sah Dieksekusi | \boxed{\text{Denda} = \text{Rp } 2.000.000.000,00, \quad \text{Sah Dieksekusi (Bukan Penalti Terlarang)}} |
LUMINA_EXP_00299 | Hukum & Hak Kekayaan Intelektual | Royalti Wajar Pelanggaran Paten Simulasi Negosiasi Georgia-Pacific | short | Dalam sengketa pelanggaran hak paten perangkat lunak otomasi, Tergugat terbukti melanggar paten Penggugat pada produk komersialnya. Total pendapatan kotor dari penjualan produk pelanggar selama masa sengketa adalah Rp 200.000.000.000,00 (200 miliar rupiah) dengan margin laba operasi bersih sebesar $25\%$ (laba operasi ... | Kita membedah hukum kekayaan intelektual mengenai penghitungan ganti rugi royalti wajar (Reasonable Royalty Damages) berdasarkan doktrin Georgia-Pacific (1970) dan doktrin atribusi (Apportionment Doctrine).
1. Prinsip Atribusi Nilai Paten (Apportionment Rule):
Berdasarkan yurisprudensi paten (*Garretson v. Clark* & *F... | def georgia_pacific_royalty():
revenue = 200000000000
profit_margin = 0.25
operating_profit = revenue * profit_margin
apportionment_rate = 0.30
patent_profit = operating_profit * apportionment_rate
licensor_share = 0.25
total_royalty = patent_profit * licensor_share
effect... | Laba Diatribusikan ke Paten: Rp 15,000,000,000.0
Total Ganti Rugi Royalti Wajar: Rp 3,750,000,000.0
Tarif Royalti Efektif terhadap Omzet: 1.875% | Formulasi Georgia-Pacific menghasilkan laba atribusi paten Rp 15 miliar, royalti wajar Rp 3.75 miliar, dan tarif efektif sebesar 1.875%. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Laba Operasi Total Produk:**
$$\Pi = 25\% \times \text{Rp } 200.000.000.000 = \text{Rp } 50.000.000.000,00$$
2. **Atribusi Laba Khusus Paten (30%):**
$$\Pi_{\text{paten}} = 30\% \times 50.000.000.000 = \text{Rp } 15.000.000.000,00$$
3. **Ganti Rugi Royalti Wajar dan Tarif Efektif:... | Royalti Wajar = Rp 3.75 Miliar, Tarif Efektif = 1.875% | \boxed{\Pi_{\text{paten}} = \text{Rp } 15\text{ Miliar}, \quad \text{Ganti Rugi} = \text{Rp } 3{,}75\text{ Miliar}, \quad \text{Tarif} = 1{,}875\%} |
LUMINA_EXP_00300 | Hukum & Perlindungan Konsumen Properti | Sanksi Denda Keterlambatan Serah Terima Rumah PPJB Perlindungan Konsumen | short | Seorang konsumen membeli satu unit rumah hunian seharga Rp 600.000.000,00 dan telah melunasi seluruh pembayaran. Perjanjian Pengikatan Jual Beli (PPJB) menetapkan pengembang wajib menyerahkan fisik rumah secara resmi paling lambat 31 Desember 2025. Sesuai regulasi perlindungan konsumen perumahan, keterlambatan serah te... | Kita membedah hukum perlindungan konsumen perumahan (Undang-Undang Perlindungan Konsumen & Permen PUPR No. 11/PRT/M/2019 tentang PPJB).
1. Dasar Hukum Denda Keterlambatan Serah Terima:
Regulasi perlindungan konsumen dan PPJB standar Kementerian PUPR menetapkan:
Apabila pelaku pembangunan (developer) terlambat menyerah... | def consumer_handover_penalty():
home_value = 600000000
daily_rate = 0.001
days_late = 100
daily_fine = home_value * daily_rate
total_fine = days_late * daily_fine
ipl_monthly = 500000
ipl_months = 60
ipl_total_value = ipl_monthly * ipl_months
deficit = total_fine - ip... | Denda Keterlambatan per Hari: Rp 600,000.0
Total Hak Denda (100 hari): Rp 60,000,000.0
Nilai Tawaran IPL (5 tahun): Rp 30,000,000
Tawaran Lebih Kecil Sebesar: Rp 30,000,000.0 (Konsumen rugi jika menerima) | Analisis hukum konsumen membuktikan hak denda harian Rp 600.000, total denda 100 hari Rp 60.000.000, dan tawaran IPL (Rp 30 juta) lebih kecil Rp 30 juta. | ### Langkah Penyelesaian
1. **Denda Keterlambatan per Hari:**
$$D_{\text{hari}} = 0{,}1\% \times \text{Rp } 600.000.000 = \text{Rp } 600.000,00/\text{hari}$$
2. **Total Denda Keterlambatan Sah (100 Hari):**
$$D_{\text{total}} = 100 \times \text{Rp } 600.000 = \text{Rp } 60.000.000,00$$
3. **Evaluasi Tawaran Ko... | Denda/Hari = Rp 600.000, Total Denda = Rp 60.000.000, Tawaran Lebih Kecil Rp 30 Juta | \boxed{\text{Denda/Hari} = \text{Rp } 600.000, \quad \text{Total Denda} = \text{Rp } 60.000.000, \quad \text{Tawaran Lebih Kecil Rp } 30.000.000} |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.